Фігура Ліссажу — це траєкторія, яку креслить точка, коли поєднуються два перпендикулярні коливання різної частоти. У трьох вимірах ми додаємо третю вісь, отримуючи гармонічний вузол, сплетений у просторі.

Параметричні рівняння

x = A·sin(a·t + δx)
y = B·sin(b·t + δy)
z = C·sin(c·t + δz),   t ∈ [0, 2π]

Хмара точок обертається у 3D і проєктується на екран простою перспективною камерою; точки, що далі від вас, малюються тьмянішими, щоб передати глибину.

Осцилоскопічний XY-режим

Встановіть c = 0, і фігура згортається у плоску 2D криву Ліссажу — саме те, що показує осцилоскоп, коли два сигнали керують його X- та Y-пластинами. Відношення частот і фаза визначають петлі, які ви бачите.

Замикання у вузли

Коли a : b : c — малі взаємно прості цілі числа, крива замикається після одного періоду в охайну ґратку або вузол. Якщо вони мають спільний дільник, відношення скорочується; ірраціональні відношення ніколи не замикаються і щільно заповнювали б куб.

Биття та фаза

• Майже однакові частоти створюють повільні биття — фігура наче обертається й дихає.
• Зсуви фази δ обертають і нахиляють петлі; відношення 1:1 проходить від лінії до кола й еліпса, коли δ змінюється від 0 до π/2.
• Це та сама математика, що й за гармонографом, де гойдання маятників креслить згасаючі візерунки Ліссажу.