PL 
EnglishDomyślny
Українська🎶 Szereg Fouriera — interaktywny symulator fazorów i rozkładu harmonicznego
Buduj przebiegi z harmonicznych sinusoidalnych. Obserwuj, jak wirujące fazory kreślą falę prostokątną, piłokształtną i trójkątną. Zobacz na żywo efekt Gibbsa i widmo Fouriera.
O rozkładzie Fouriera i widmie częstotliwości
Każdy sygnał można opisać na dwa równoważne sposoby: jako przebieg amplitudy w funkcji czasu albo jako widmo amplitudy w funkcji częstotliwości. Transformata Fouriera przekształca jeden opis w drugi. Czysty ton daje w widmie pojedynczy pik; fala prostokątna daje piki przy częstotliwości podstawowej i każdej nieparzystej harmonicznej, z amplitudą malejącą jak 1/n; szum szerokopasmowy rozprasza energię jednocześnie na wiele częstotliwości. Ten symulator buduje falę harmonika po harmonice za pomocą obracających się fazorów, dzięki czemu każdy pik widma można powiązać z konkretnym obracającym się ramieniem w obrazie dziedziny czasu.
Prawdziwe cyfrowe przetwarzanie sygnałów rzadko dysponuje sygnałem nieskończonym, więc pracuje na skończonym oknie próbek, a dyskretna transformata Fouriera niejawnie zakłada, że to okno powtarza się w nieskończoność. Jeśli sygnał w oknie nie zaczyna się i nie kończy tą samą wartością, ta sztuczna nieciągłość rozprasza energię do sąsiednich prążków częstotliwości — zjawisko zwane przeciekiem widma, które funkcje okna, takie jak Hanna czy Hamminga, ograniczają, łagodnie ścinając sygnał do zera na obu końcach przed transformacją.
Często zadawane pytania
Co ujawnia widmo częstotliwości sygnału?
Widmo częstotliwości pokazuje, ile energii sygnału przypada na każdą częstotliwość. Czysta fala sinusoidalna o częstotliwości 440 Hz daje w widmie pojedynczy pik przy 440 Hz. Złożony akord muzyczny pokazuje piki przy wielu harmonicznie powiązanych częstotliwościach. Fala prostokątna niesie energię przy częstotliwości podstawowej i wszystkich nieparzystych harmonicznych, z amplitudą malejącą jak 1/n. Szum ma energię rozłożoną na wszystkie częstotliwości (szum biały) albo o określonym kształcie widmowym. Widmo ujawnia okresowości, relacje harmoniczne i składowe częstotliwościowe, które nie są oczywiste w surowym sygnale w dziedzinie czasu.
Czym jest przeciek widma i jak funkcje okna go ograniczają?
Przeciek widma (spectral leakage) pojawia się, ponieważ DFT niejawnie zakłada, że sygnał powtarza się okresowo, podczas gdy sygnał w oknie analizy zwykle nie zaczyna się i nie kończy tą samą wartością. Nieciągłość na granicy okna rozprasza energię czystego tonu na sąsiednie prążki częstotliwości, zaciemniając pobliskie cechy widma. Funkcje okna (Hanna, Hamminga, Blackmana) łagodnie ścinają sygnał do zera na obu końcach, eliminując tę nieciągłość. Kosztem jest nieco gorsza rozdzielczość częstotliwościowa (szersze piki) w zamian za mniejszy przeciek (stłumione listki boczne) — różne okna optymalizują ten kompromis inaczej.
Dlaczego FFT jest tak dużo szybsza od DFT?
DFT oblicza każdą z N składowych częstotliwościowych jako sumę N próbek w dziedzinie czasu, co wymaga łącznie N² mnożeń. FFT wykorzystuje symetrię i okresowość DFT, aby rekurencyjnie rozłożyć obliczenia: N-punktowe DFT dzieli się na dwa N/2-punktowe DFT, każde z nich na N/4-punktowe, i tak dalej przez log2(N) poziomów. Łączna liczba operacji staje się rzędu N·log2(N) — dla N = 1 000 000 to przyspieszenie około 50 000 razy, które umożliwiło przetwarzanie sygnałów w czasie rzeczywistym.