🔵 Ford Circles & Farey Sequence

Okrąg Forda to okrąg powiązany ze skróconym ułamkiem p/q, styczny do osi liczbowej w punkcie x=p/q. Jego środek znajduje się w (p/q, 1/(2q²)), a jego promień to również 1/(2q²), więc mniejsze mianowniki dają większe okręgi, a większe mianowniki dają okręgi coraz ciaśniej przylegające do linii.

Ciąg Fareya F_n to lista każdego skróconego ułamka p/q z 0≤p/q≤1 i mianownikiem q nie większym niż n, ułożona w kolejności rosnącej. W miarę wzrostu n nowe ułamki wciskają się między istniejące, a F_n zawiera dokładnie 1+φ(1)+φ(2)+…+φ(n) wyrazów, gdzie φ to funkcja Eulera.

Dwa okręgi Forda dla ułamków a/b i c/d są albo styczne do siebie, albo całkowicie rozłączne — nigdy nie mogą się przeciąć. Kwadrat odległości między ich środkami jest równy kwadratowi sumy ich promieni dokładnie wtedy, gdy |bc−ad|=1, a w przeciwnym razie jest ściśle większy, więc okręgi mogą stykać się dokładnie w jednym punkcie, ale nigdy nie przecinają się w dwóch.

Mediant dwóch ułamków a/b i c/d to (a+c)/(b+d). Dla dowolnych dwóch sąsiadujących ułamków w ciągu Fareya mediant jest najprostszym nowym ułamkiem leżącym ściśle między nimi, i jest to dokładnie ułamek, który pojawia się, gdy rząd ciągu Fareya n rośnie na tyle, aby objąć mianownik b+d. Ten proces wstawiania mediantów pozwala budować cały ciąg Fareya — i całą rodzinę okręgów Forda — krok po kroku.

Drzewo Sterna-Brocota budowane jest tym samym procesem mediantowym co ciąg Fareya, a pozycja każdej liczby wymiernej w tym drzewie odpowiada dokładnie jej rozwinięciu w ułamek łańcuchowy. Podążanie za łańcuchem okręgów Forda prowadzących do danego ułamka odtwarza jego ułamek łańcuchowy cyfra po cyfrze, a tempo, w jakim okręgi kurczą się po drodze, odzwierciedla, jak dobrze ten ułamek można przybliżyć prostszymi liczbami wymiernymi — podstawa teorii aproksymacji diofantycznej.