Кожен нескоротний дріб p/q від 0 до 1 має власне коло Форда, дотичне до числової прямої в точці p/q з радіусом 1/(2q²). Спостерігайте, як ряд Фарея вибудовується через додавання медіант, наближайте й пересувайте числову пряму та дізнайтеся, чому ці кола лише торкаються, але ніколи не перетинаються.
Цей інструмент малює кожне коло Форда для дробів у ряду Фарея. Для нескоротного дробу p/q його коло Форда дотикається до числової прямої в точці x=p/q із радіусом 1/(2q²) — тож дроби з малими знаменниками отримують великі кола, а дроби з великими знаменниками — крихітні кола, що щільно притискаються до прямої. Зі зростанням порядку Фарея n нові дроби вклинюються як медіанти своїх сусідів, і їхні кола Форда ідеально розташовуються між уже наявними — завжди дотично, ніколи не перетинаючись.
Кожен нескоротний дріб p/q у ряду Фарея Fn отримує коло радіусом 1/(2q²), дотичне до числової прямої в точці x=p/q. Сусідні дроби в ряду задовольняють умову bc−ad=1 — саме вона робить їхні кола дотичними одне до одного, а не перетинними.
Перетягуйте повзунок порядку, щоб нарощувати ряд Фарея до n=20, натисніть «Показати побудову медіант», щоб побачити покроковий процес, вмикайте чи вимикайте підписи дробів і прокручуйте або перетягуйте полотно, щоб масштабувати й панорамувати числову пряму.
Кола Форда напряму пов'язані з деревом Штерна-Броко й ланцюговими дробами: ланцюжок медіант, що веде до дробу, відтворює його розклад у ланцюговий дріб, а швидкість, з якою зменшуються кола, показує, наскільки добре цей дріб опирається наближенню простішими дробами.
Коло Форда — це коло, пов'язане з нескоротним дробом p/q, яке дотикається до числової прямої в точці x=p/q. Його центр розташований у точці (p/q, 1/(2q²)), а радіус також дорівнює 1/(2q²), тож менші знаменники дають більші кола, а більші знаменники — кола, що дедалі щільніше притискаються до прямої.
Ряд Фарея Fn — це перелік кожного нескоротного дробу p/q із 0≤p/q≤1 та знаменником, не більшим за n, розташованих у порядку зростання. Зі зростанням n нові дроби вклинюються між уже наявними, і Fn містить рівно 1+φ(1)+φ(2)+…+φ(n) членів, де φ — функція Ейлера.
Два кола Форда для дробів a/b і c/d або дотикаються одне до одного, або повністю не перетинаються — вони ніколи не можуть перетнутися. Квадрат відстані між їхніми центрами дорівнює квадрату суми їхніх радіусів рівно тоді, коли |bc−ad|=1, і строго перевищує його в інших випадках, тож кола можуть торкатися рівно в одній точці, але ніколи не перетинаються в двох.
Медіанта двох дробів a/b і c/d — це (a+c)/(b+d). Для будь-яких двох сусідніх дробів у ряду Фарея медіанта є найпростішим новим дробом, що лежить строго між ними, і саме він з'являється, щойно порядок Фарея n зростає достатньо, щоб включити знаменник b+d. Саме цей процес додавання медіант дозволяє поступово побудувати весь ряд Фарея — і всю сім'ю кіл Форда.
Дерево Штерна-Броко будується тим самим процесом додавання медіант, що й ряд Фарея, і положення кожного раціонального числа в цьому дереві точно відповідає його розкладу в ланцюговий дріб. Простежуючи ланцюжок кіл Форда, що ведуть до дробу, можна відтворити його ланцюговий дріб цифра за цифрою, а швидкість, з якою кола зменшуються на цьому шляху, відображає, наскільки добре цей дріб можна наблизити простішими раціональними числами — це основа теорії діофантового наближення.