📏 Поширення Похибок та Невизначеність

Якщо z = f(x,y), то σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y² (лінійне поширення). Монте-Карло підтверджує аналітичні результати. Інтерактивний конструктор формул для додавання, множення та довільних функцій.

СтатистикаІнтерактивний
Гістограма МК z · Аналітична гауссова крива · R нова вибірка

Як це працює

Лінійне поширення похибок (розклад Тейлора першого порядку) дає вихідну невизначеність як квадратурну суму часткових похідних, помножених на вхідні невизначеності. Для некорельованих входів x і y зі стандартними відхиленнями σ_x і σ_y:

σ_z² = (∂f/∂x)²·σ_x² + (∂f/∂y)²·σ_y² z = x+y: σ_z = √(σ_x²+σ_y²) z = x·y: σ_z/z = √((σ_x/x)²+(σ_y/y)²) z = x/y: σ_z/z = √((σ_x/x)²+(σ_y/y)²) z = x^n: σ_z/z = |n|·σ_x/x z=√(x²+y²): σ_z = √((x²σ_x²+y²σ_y²)/(x²+y²))

Симуляція Монте-Карло відбирає N зразків з гауссових вхідних розподілів, обчислює z для кожного зразка і знаходить емпіричні середнє і стандартне відхилення. Гістограма має збігатися з аналітичною гауссіаною для лінійних функцій і виявляти асиметрію для нелінійних.

Часті запитання

Що таке поширення похибок?

Поширення похибок — вплив вхідних невизначеностей на невизначеність обчисленого результату. Якщо z = f(x, y), вихідна невизначеність σ_z залежить від σ_x, σ_y і часткових похідних f.

Яка формула лінійного поширення похибок?

Для некорельованих входів: σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y². Отримана з розкладу Тейлора першого порядку. Точна для лінійних функцій і наближена для нелінійних.

Коли лінійне поширення похибок не працює?

Лінійне поширення не спрацьовує, коли функція сильно нелінійна в діапазоні вхідної невизначеності або коли невизначеності великі. У цих випадках метод Монте-Карло дає точніші результати.

Як працює невизначеність Монте-Карло?

Аналіз Монте-Карло відбирає велику кількість випадкових зразків з вхідних розподілів, обчислює функцію для кожного зразка та визначає стандартне відхилення вихідних значень.

Яка невизначеність суми z = x + y?

Для z = x + y з некорельованими x, y: σ_z = √(σ_x² + σ_y²). Абсолютні невизначеності додаються в квадратурі.

Яка невизначеність добутку z = x·y?

Для z = x·y: (σ_z/z)² = (σ_x/x)² + (σ_y/y)². Відносні невизначеності додаються в квадратурі.

Яка невизначеність z = x^n?

Для z = x^n: σ_z/z = |n| · σ_x/x. Степені підсилюють відносну невизначеність у |n| разів.

Що таке коефіцієнт охоплення і довірчий інтервал?

Коефіцієнт охоплення k множить стандартну невизначеність для отримання розширеної невизначеності. k=1 дає 68%, k=2 — 95%, k=3 — 99.7% для нормального розподілу.

Яка різниця між точністю і відтворюваністю?

Точність описує близькість до істинного значення (систематична похибка). Відтворюваність описує повторюваність вимірювань (випадкова похибка / стандартне відхилення).

Що таке GUM і чому він важливий?

Керівництво з вираження невизначеності у вимірюваннях (GUM) від BIPM містить міжнародно стандартизовані методи оцінювання та вираження невизначеності. Визначає тип А і тип В оцінювання.

Про цю симуляцію

Ця симуляція порівнює два способи знаходження невизначеності z = f(x,y): аналітичну формулу Тейлора першого порядку σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y², і метод Монте-Карло "грубою силою", який вибирає тисячі випадкових пар (x,y) із гаусових розподілів і обчислює z для кожної напряму. Червона аналітична крива Гаусса накладається на синю гістограму Монте-Карло, щоб чітко бачити, коли методи збігаються, а коли розходяться.

🔬 Що показано

Гістограму значень z, вибраних методом Монте-Карло, з накладеною аналітичною кривою Гаусса, пунктирну лінію, що позначає середнє Монте-Карло, затінену смугу ±1σ, і панель статистики, що порівнює аналітичні й Монте-Карло середні, стандартні відхилення та їх відносну різницю.

🎮 Як користуватись

Оберіть формулу (сума, різниця, добуток, частка, квадрат чи гіпотенуза) у випадному списку, встановіть середнє й σ для x та y повзунками, налаштуйте кількість вибірок Монте-Карло, і натисніть "Перевибрати", щоб перемалювати порівняння.

💡 Чи знали ви?

Для лінійних формул z=x+y і z=x−y аналітична крива та крива Монте-Карло мають накладатись майже ідеально незалежно від того, наскільки великими стають σ_x і σ_y — але переключіться на z=√(x²+y²) чи z=x·y і підніміть невизначеності входів, і ви побачите, як гістограма помітно скошується від симетричного розподілу Гаусса, що передбачає лінійна формула, точно показуючи, де ламається лінійне поширення похибки першого порядку.

Часті запитання

Чому аналітичне й Монте-Карло значення σ_z іноді не збігаються?

Аналітична формула — це наближення Тейлора першого порядку, дійсне лише коли функція майже лінійна в діапазоні, охопленому невизначеностями входів; для справді нелінійних формул, як z=x² чи z=√(x²+y²), збільшення σ_x чи σ_y відносно середнього робить справжній розподіл скошеним від гаусового, що напряму кількісно показує статистика "Відносна різниця".

Чому z = x² поводиться так інакше, ніж z = x + y?

Додавання абсолютно лінійне, тож його часткові похідні (обидві дорівнюють 1) постійні всюди, і формула першого порядку точна незалежно від σ; піднесення до квадрата має похідну 2x, що змінюється разом з x — тож поширена невизначеність є лише локальним лінійним наближенням; збільшення σ_x для формули z=x² — найшвидший спосіб побачити, як гістограма помітно відходить від червоної аналітичної кривої.

Що насправді покращує підвищення повзунка вибірок Монте-Карло?

Більше вибірок зменшує статистичний шум самої оцінки Монте-Карло (емпіричне середнє й стандартне відхилення сходяться до справжніх значень при зростанні кількості вибірок), даючи гладшу гістограму — це не змінює, чи є базова функція лінійною, тож це не виправить розбіжність, спричинену справжньою нелінійністю.

Чому формула добутку z = x·y потребує відносних невизначеностей, а не абсолютних?

Оскільки ∂(xy)/∂x = y і ∂(xy)/∂y = x, підстановка в загальну формулу й ділення на z=xy алгебраїчно спрощується до (σ_z/z)² = (σ_x/x)² + (σ_y/y)² — саме тому формули добутку й частки традиційно виражають у дробовій/відсотковій невизначеності, а не абсолютній.

Чому гістограма іноді виглядає асиметричною, навіть коли обидва входи ідеально гаусові?

Будь-яке нелінійне перетворення симетричного розподілу може внести скошеність — наприклад, ділення двох гаусіанів (z=x/y) дає розподіл із важчими хвостами, ніж будь-який із входів, особливо коли невизначеність y достатньо велика, щоб вибірки могли наближатись до нуля — випадок, який припущення про сталу похідну лінійної формули не може врахувати.