Devlog #45 – Fala 25: algebra liniowa, topologia i…

Statystyki platformy

352Symulacje

75Kategorie

134Wpisy na blogu

25Fale

45Devlogi

Symulacje Fali 25 w skrócie

Ta fala konsoliduje pięć matematycznie gęstych symulacji, które były już gotowe w repozytorium, ale jeszcze nie zintegrowane z rejestrem platformy ani przetłumaczone. Wszystkie pięć jest teraz w pełni dwujęzycznych (EN + UK), zarejestrowanych w indeksie symulacji i uwzględnionych w mapie witryny.

Wektory i wartości własne — algebra liniowa, ★★★
Równanie Nernsta — chemia fizyczna, ★★☆
Wizualizator PCA i SVD — uczenie maszynowe / statystyka, ★★☆
Względność jednoczesności — szczególna teoria względności, ★★☆
Eksplorator torusa i rodzaju powierzchni — topologia, ★★★

Nowa symulacja: wektory i wartości własne

🧮 Wizualizator wektorów i wartości własnych

Interaktywny wizualizator Canvas 2D dla rzeczywistych macierzy 2×2. Symulacja rysuje okrąg jednostkowy, jego obraz pod przekształceniem liniowym T(x) = Ax oraz dwa rzeczywiste wektory własne jako nałożone strzałki. Punkt, który można przeciągać po okręgu jednostkowym, pokazuje, jak przekształca się dowolny wektor, dzięki czemu intuicja „rozciągania wzdłuż wektorów własnych” staje się natychmiast widoczna.

Fizyka i matematyka

Av = λv (równanie wartości własnej) det(A - λI) = 0 (wielomian charakterystyczny) Dla 2\times2: λ² - tr(A)λ + det(A) = 0 Spec(A) = {λ\subset1;, λ\subset2;}; ślad = λ\subset1; + λ\subset2;, det = λ\subset1;λ\subset2;

Suwaki kontrolują elementy a, b, c, d macierzy 2×2. Wartości własne są obliczane analitycznie ze wzoru kwadratowego; gdy wyróżnik jest ujemny, wyświetlacz pokazuje „zespolone / brak rzeczywistych wektorów własnych” i podświetla składową rotacji. Panel informacyjny pokazuje wyznacznik, ślad oraz interpretację geometryczną (rozkład na rotację i rozciąganie).

Canvas 2D Algebra liniowa Wartości własne Przekształcenie macierzowe

Nowa symulacja: równanie Nernsta

⚡ Równanie Nernsta — potencjał ogniwa galwanicznego

Animowany wizualizator ogniwa elektrochemicznego. Wybierz jedną z sześciu popularnych par elektrod (Zn/Cu ogniwo Daniella, Fe/Cu, Ag/Zn, Ni/Cu, Pb/Cu, H2/Cu SHE), a następnie dostosuj temperaturę i stężenia jonów (roztwory „czerwony” i „niebieski” w dwóch półogniwach), aby obserwować, jak potencjał ogniwa odbiega od wartości standardowej E° zgodnie z równaniem Nernsta.

Fizyka i matematyka

E = E° - (RT / nF) ln Q Q = [utleniona] n / [zredukowana] n W 298 K: E = E° - (0.05916/n) log Q ΔG = -nFE = -RT ln K

Płótno pokazuje animowany schemat ogniwa Daniella: przedział anody po lewej (oznaczony jako utlenianie), katoda po prawej (redukcja), most solny łączący oba przedziały, prąd elektronów przepływający przez zewnętrzny przewód oraz kolorowo oznaczone cząstki kationów i anionów dryfujące w prawidłowych kierunkach w miarę rozładowywania ogniwa. Odczyt na żywo pokazuje E (V), ΔG (kJ/mol) oraz Q.

Canvas 2D Elektrochemia Energia Gibbsa Równanie Nernsta

Nowa symulacja: wizualizator PCA i SVD

📊 Wizualizator PCA i SVD

Interaktywne narzędzie wykresu punktowego do eksploracji analizy głównych składowych (PCA). Kliknij, aby umieścić punkty danych 2D na płótnie, albo wygeneruj jeden z kilku wbudowanych zbiorów danych (liniowy, kołowy, plama, banan). Narzędzie oblicza empiryczną macierz kowariancji, wyznacza wektory własne za pomocą zamkniętego wzoru 2×2 i rysuje główne składowe jako strzałki skalowane odpowiednio do ich wartości własnych. Druga zakładka pokazuje macierz kowariancji 2×2 jako kolorystyczną mapę cieplną.

Fizyka i matematyka

X̃ = X - μ (centrowanie względem średniej) C = X̃²⁄\subsetT / (n-1) (macierz kowariancji) C = VΛV\supsetT (rozkład na wartości własne) PCA \equiv obcięte SVD: X = UΣV\supsetT Wyjaśniona wariancja: λ\subsetk; / Σ\subseti; λ\subseti;

Wizualizator wyświetla wektory własne jako strzałki, pasek wyjaśnionej wariancji (procent uchwycony przez PC1 i PC2), rzutowanie punktów na PC1 oraz opcjonalnie elipsę gęstości (1σ i 2σ). Zakładka kowariancji pokazuje macierz liczbową obok deterministycznej skali kolorów: wartości dodatnie na niebiesko, ujemne na czerwono.

Canvas 2D PCA SVD Uczenie maszynowe Kowariancja

Nowa symulacja: względność jednoczesności

⏱️ Względność jednoczesności — eksperyment myślowy Einsteina z pociągiem

Animacja z dwiema równoległymi ramkami dla eksperymentu myślowego Einsteina z 1905 roku z pociągiem i błyskawicami. Dwa płótna działają równolegle: górne pokazuje układ odniesienia peronu S, w którym oba uderzenia pioruna następują jednocześnie; dolne pokazuje układ odniesienia pociągu S′, w którym przedni błysk pojawia się pierwszy. Dostosuj β = v/c od 0,10 do 0,95; przekształcone przez Lorentza momenty błysków aktualizują się w czasie rzeczywistym.

Fizyka i matematyka

t' = γ(t - vx/c²), x' = γ(x - vt) γ = 1/\sqrt(1-β²) (czynnik Lorentza) Δt' = -γvΔx/c² \neq 0 dla przestrzennopodobnego Δx L' = L/γ (skrócenie Lorentza)

Impulsy świetlne rozszerzają się z prędkością c = 1 w obu układach odniesienia; rozszerzające się sfery są rysowane jako przerywane odcinki pionowe wyśrodkowane na źródle błysku. Panel pokazuje γ, skrócony rozmiar pociągu L′/L, lukę jednoczesności Δt′ oraz przekształcone momenty błysków t′_rear i t′_front. Cztery predefiniowane przyciski β obejmują reżimy: powolny, pół-c, szybki i bliski c.

Canvas 2D Szczególna teoria względności Przekształcenie Lorentza Jednoczesność

Nowa symulacja: eksplorator torusa i rodzaju powierzchni

📐 Eksplorator torusa i rodzaju powierzchni

Interaktywny eksplorator topologii 3D oparty na Three.js r160. Wybierz rodzaj g = 0 (sfera), 1 (torus), 2 (podwójny torus) lub 3 (potrójny torus), aby zobaczyć powierzchnię renderowaną z opcjonalnymi trybami: pełnym, siatki drucianej i mapy normalnych. Przeciągnij, aby obracać; przewiń, aby powiększać. Panel aktualizuje charakterystykę Eulera χ = 2 − 2g, słowo wielokąta fundamentalnego, liczbę uchwytów oraz π₁ dla każdej powierzchni.

Fizyka i matematyka

χ = V - E + F = 2 - 2g (charakterystyka Eulera) \int\int_M K dA = 2πχ (twierdzenie Gaussa-Bonneta) π 1 (S²) = 1, π 1 (T²) = ℤ \times ℤ Grupa powierzchni: ⟨a 1,b 1,...,a g,b g | [a 1,b 1]\cdot\cdot\cdot[a g,b g] = 1⟩

Podwójny i potrójny torus są renderowane jako dwie lub trzy przesunięte siatki TorusGeometry — wizualne przybliżenie prawdziwej sumy spójnej, wystarczające, by przekazać liczbę uchwytów. Notatka o twierdzeniu Gaussa-Bonneta aktualizuje się dla każdej powierzchni: sfera (K = 1/R², całka = 4π), torus (dodatnia część zewnętrzna i ujemna wewnętrzna znoszą się do 0) oraz wyższy rodzaj g (całka −4(g−1)π).

Three.js r160 Topologia Charakterystyka Eulera Gauss-Bonnet Grupa fundamentalna

Lokalizacja ukraińska — Fala 25

Wszystkie pięć symulacji Fali 25, a także dwie symulacje Fali 24 (chirp fali grawitacyjnej i równowaga faz), którym brakowało stron ukraińskich, otrzymały pełne tłumaczenia UK w tej aktualizacji. Daje to łącznie siedem nowych dwujęzycznych symulacji w tym cyklu wydawniczym.

Każda strona ukraińska jest zgodna ze standardowym szablonem: lang="uk", wzajemne odnośniki hreflang, ścieżka względna ../../style.css, ukraińska nawigacja (Головна / Категорії / Блог / Про нас), okruszki kategorii, odznaka poziomu trudności po ukraińsku oraz przetłumaczone wszystkie etykiety na płótnie symulacji, teksty przycisków i odczyty. Kod fizyki symulacji jest zachowany dosłownie (zmieniane są tylko ciągi widoczne dla użytkownika).

Notatki inżynierskie

Wektory własne

Wartości własne są rozwiązywane analitycznie: λ = (tr ± √(tr² − 4det)) / 2. Gdy wyróżnik Δ < 0, powierzchnia wyświetla informację o „zespolonych wartościach własnych” i przełącza się na wyświetlanie tylko rotacji. Wektory własne są normalizowane przed narysowaniem; długość strzałki jest proporcjonalna do |λ| ograniczonej do dwóch jednostek płótna. Okrąg jednostkowy jest próbkowany w 200 punktach; każdy punkt jest przekształcany przez A i rysowany jako elipsa obrazu w kontrastowym kolorze.

Równanie Nernsta

Sześć standardowych par elektrod jest wstępnie załadowanych z wartościami E° z literatury. Q jest obliczane jako [utl]ⁿ / [red]ⁿ, gdzie n to liczba przenoszonych elektronów dla danej pary. Animacja cząstek jonowych wykorzystuje prosty krok typu leapfrog: kationy dryfują w stronę elektrody ujemnej, aniony w przeciwnym kierunku, z prędkościami proporcjonalnymi do Q − 1 (siła napędowa). Most solny przepuszcza powolny przeciwprąd jonów, aby uwidocznić bilans ładunku.

Wizualizator PCA

Macierz kowariancji C jest obliczana na bieżąco w miarę umieszczania nowych punktów. Wartości i wektory własne są rozwiązywane za pomocą zamkniętego wzoru 2×2 (bez potrzeby iteracji). Linia rzutowania PC1 jest rysowana jako linia regresji przechodząca przez centroid w kierunku dominującego wektora własnego. Pasek wyjaśnionej wariancji jest animowany przejściem CSS przy zmianie szerokości, dając płynną informację zwrotną w miarę zmian rozkładu zbioru danych.

Względność jednoczesności

Czas symulacji jest mierzony w jednostkach naturalnych, gdzie c = 1, a własna długość pociągu L = 1. Zdarzenia błysku w układzie odniesienia peronu są ustalone w punktach (t = 0, x = ±L_c/2), gdzie L_c = L/γ to długość skrócona przez Lorentza. Zdarzenia błysku są analitycznie przekształcane do S′; stożki świetlne rozszerzają się jako r(t) = c(t − t_fire) w każdym układzie odniesienia. Suwak prędkości animacji skaluje d(t_sim)/dt niezależnie od fizyki, dzięki czemu możliwa jest eksploracja w zwolnionym tempie reżimu bliskiego c.

Torus i rodzaj powierzchni

Sfera (g = 0) używa THREE.SphereGeometry(1.5, 48, 32). Pojedynczy torus (g = 1) używa TorusGeometry(1.1, 0.42, 32, 64). Podwójny i potrójny torus są budowane z dwóch lub trzech przesuniętych torusów o skalowanych promieniach, usuwanych i odbudowywanych za każdym razem, gdy zmienia się rodzaj, aby uniknąć wycieków pamięci GPU. MeshPhongMaterial jest półprzezroczysty (nieprzezroczystość 0,75), gdy aktywna jest nakładka siatki drucianej, co czyni widoczną wewnętrzną topologię. Współczynnik tłumienia OrbitControls wynoszący 0,07 daje przyjemne wrażenie inercji.

Co dalej: Fala 26

Fala 26 obejmuje fizykę plazmy, obliczenia kwantowe i ekologię. Planowane symulacje to między innymi:

Uwięzienie magnetyczne tokamaka — pole toroidalne/poloidalne, trajektorie dryfu, kryteria stabilności MHD.
Wizualizator obwodów kwantowych — bramki jednokubitowe na sferze Blocha, splątanie CNOT, stany Bella oraz kolaps pomiaru.
Ekosystem Lotki-Volterry — oscylacje drapieżnik-ofiara, analiza stabilności jakobianu, interakcje wielogatunkowe.
Ekranowanie Debye’a — długość ekranowania plazmy, profil potencjału Yukawy, oscylacje częstotliwości plazmowej.

Planowane wpisy na blogu: Spotlight #46 o fizyce plazmy i MHD; Learning #35 o obliczeniach kwantowych i kwantowej teorii informacji.