🌻 Phyllotaxie — Spirales de tournesol & angle d'or

La phyllotaxie est l'étude de la façon dont les plantes disposent leurs organes répétés — graines, feuilles, fleurons, écailles — autour d'une tige ou d'un disque, typiquement selon des motifs en spirale. Cette simulation reproduit le motif classique de la tête de graines de tournesol en utilisant le modèle mathématique de Vogel, plaçant chaque graine n à l'angle θ = n·δ et à la distance r = c·√n depuis le centre, puis affichant le résultat comme un nuage de points 3D en direct et rotatif avec Three.js.

L'angle d'or est l'angle obtenu en divisant un tour complet de 360° selon la proportion du nombre d'or : 360° / φ² ≈ 137,50776°, où φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 est le nombre d'or. Comme φ ne peut pas être bien approximé par une fraction simple, tourner par cet angle exact de façon répétée ne produit jamais deux points à la même position angulaire, ce qui explique pourquoi il donne l'empilement le plus dense et sans lacune des graines.

Les bras en spirale visibles (parastiches) se présentent en deux familles entrelacées, l'une tournant dans le sens horaire et l'autre dans le sens antihoraire. Comme le placement selon l'angle d'or fait des ratios de nombres de Fibonacci (1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13...) les meilleures approximations rationnelles possibles de φ, le nombre de bras que l'on peut tracer dans chaque famille est presque toujours une paire de nombres de Fibonacci consécutifs — comme 21 et 34, 34 et 55, ou 55 et 89 — les grands nombres de graines produisant de plus grandes paires de Fibonacci.

Même un tout petit décalage, comme 137,3° ou 137,6°, rompt l'équilibre quasi irrationnel qui empêche les graines de s'aligner. Au lieu d'une double spirale lisse, on obtient des rayons radiaux droits visibles ou de larges espaces, car des graines séparées par quelques tours atterrissent désormais presque au même angle. Le curseur δ de la simulation (135°–140°) et le bouton « Ajuster à l'angle d'or » sont conçus pour rendre ce contraste évident.

Le modèle de Vogel définit le rayon r = c·√n spécifiquement parce que l'aire d'un anneau au rayon r croît proportionnellement à r, donc mettre à l'échelle r par la racine carrée de l'indice de graine n maintient constante l'aire allouée à chaque graine à mesure que le motif s'étend vers l'extérieur. Sans la racine carrée, les graines près du centre seraient entassées tandis que les graines près du bord seraient trop espacées, ce qui ne correspond pas à la croissance réelle du tournesol ou de la pomme de pin.