🌻 Filotaxis — Espirales de Girasol y el Ángulo Áureo

La filotaxis es el estudio de cómo las plantas disponen órganos repetidos — semillas, hojas, flósculos, escamas — alrededor de un tallo o disco, típicamente en patrones espirales. Esta simulación reproduce el patrón clásico de la cabeza de semillas del girasol usando el modelo matemático de Vogel, colocando cada semilla n en el ángulo θ = n·δ y a una distancia r = c·√n desde el centro, y luego renderizando el resultado como una nube de puntos 3D en vivo y rotable con Three.js.

El ángulo áureo es el ángulo que se obtiene al dividir un giro completo de 360° en proporción áurea: 360° / φ² ≈ 137,50776°, donde φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 es la proporción áurea. Como φ no puede aproximarse bien mediante ninguna fracción simple, rotar repetidamente ese ángulo exacto nunca produce dos puntos en la misma posición angular, por lo que ofrece el empaquetado más denso y sin huecos de las semillas.

Los brazos espirales visibles (parastiquias) aparecen en dos familias entrelazadas, una girando en sentido horario y otra antihorario. Como la colocación mediante el ángulo áureo hace que las razones de números de Fibonacci (1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13...) sean las mejores aproximaciones racionales posibles de φ, el número de brazos que puedes trazar en cada familia es casi siempre un par de números de Fibonacci consecutivos — como 21 y 34, 34 y 55, o 55 y 89 — y los recuentos de semillas mayores producen pares de Fibonacci mayores.

Incluso un desplazamiento diminuto, como 137,3° o 137,6°, rompe el equilibrio casi irracional que impide que las semillas se alineen. En lugar de una espiral doble suave se obtienen radios rectos visibles o huecos amplios, porque semillas separadas por unas pocas vueltas ahora caen en casi el mismo ángulo. El control deslizante δ (135°–140°) y el botón "Ajustar al ángulo áureo" de la simulación están diseñados para hacer evidente este contraste.

El modelo de Vogel establece que el radio r = c·√n específicamente porque el área de un anillo a radio r crece proporcionalmente a r, así que escalar r por la raíz cuadrada del índice de semilla n mantiene constante el área asignada a cada semilla a medida que el patrón crece hacia afuera. Sin la raíz cuadrada, las semillas cerca del centro estarían amontonadas mientras que las semillas cerca del borde estarían demasiado separadas, lo cual no coincide con el crecimiento real de girasoles o piñas.