ℹ️ Як користуватися

Це голівка соняшника, побудована за моделлю Фогеля. Кожна насінина n розміщена під кутом θ = n · δ на відстані r = c · √n від центру.

  • Зсуньте Кут розходження δ лише на частку градуса від 137,5° і побачте, як акуратні спіральні рукави розпадаються на проміжки та радіальні промені.
  • Натисніть До золотого кута, щоб повернутися до ідеального пакування.
  • Перемкніть Режим кольору на За сім'єю спіралей, щоб тонувати кожен рукав Фібоначчі по-різному.
  • Натисніть Анімувати ріст, щоб додавати насіння з часом — так, як справжня голівка росте від центру назовні.
📐 Теорія

Золотий кут. Золотий перетин — це φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618. Якщо поділити повний оберт так, щоб дві частини були в золотій пропорції, отримуємо золотий кут 360° / φ² ≈ 137,507°. Оскільки φ — «найбільш ірраціональне» число, яке найважче наблизити простими дробами, наступні насінини ніколи не вишиковуються в промені й заповнюють простір без марних проміжків.

Парастихи Фібоначчі. Видимі спіральні рукави (їх називають парастихами) утворюють дві переплетені сім'ї — одну за годинниковою стрілкою, іншу проти. Їхня кількість майже завжди — два послідовні числа Фібоначчі: 21 і 34, 34 і 55, 55 і 89 — з тієї ж причини: розміщення під золотим кутом робить відношення Фібоначчі найкращими раціональними наближеннями до φ.

Навіщо це рослинам. Пакування насіння, листя чи квіток під золотим кутом максимізує густину їх розташування без перекриття, а для листя — мінімізує, наскільки кожен лист затіняє нижні. Це краще вловлювання світла й більше насіння в голівці.

Модель Фогеля (1979). Гельмут Фогель показав, що прості формули θ = n · 137,5° та r = c · √n напрочуд добре відтворюють візерунок соняшника. Множник √n тримає площу на одну насінину сталою, тож голівка лишається рівномірно щільною, поки росте.

Про цю симуляцію

Автор: Команда MySimulator · Редакційна перевірка: Редакція MySimulator

Оновлено: 5 липня 2026 р.

Ця симуляція візуалізує філотаксис — розташування насіння, листків і квіток, яке спостерігається в соняшниках, шишках і ананасах — у вигляді справжньої 3D-хмари точок. Кожна насінина n розміщується за моделлю Фогеля під кутом θ = n · δ і на відстані r = c · √n, де δ — кут розходження, яким ви керуєте. Коли δ дорівнює золотому куту (360° / φ² ≈ 137,507°, що походить із золотого перерізу φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618), насіння укладається без проміжків і накладань, а видимі спіральні рукави утворюють дві родини, кількості яких є послідовними числами Фібоначчі.

🔬 Що демонструє

До 20 000 насінин, розміщених за формулою Фогеля θ = n·δ, r = c·√n і відображених як 3D-хмара точок на диску, конусі або сфері. Панель живих показників рахує спіральні рукави (парастихи) за годинниковою і проти годинникової стрілки — поблизу золотого кута вони фіксуються на двох послідовних числах Фібоначчі, наприклад 34 і 55, або 55 і 89, залежно від кількості насінин.

🎮 Як користуватися

Перетягніть повзунок Кут розходження δ (135°–140°) на частку градуса від 137,5° і подивіться, як охайні спіралі розпадаються на проміжки й радіальні спиці; натисніть «Прив'язати до золотого кута», щоб відновити ідеальне укладання. Змінюйте Кількість насінин N (500–20 000), перемикайте Форму поверхні між пласким диском, конусом (шишка) і сферою та встановіть Режим кольору на «За спіральною родиною», щоб забарвити кожен рукав Фібоначчі окремо. Тягніть, щоб обертати, прокручуйте, щоб масштабувати.

💡 Чи знали ви?

Реальна голівка соняшника зазвичай показує 34 і 55, або 55 і 89, спіральних рукавів у двох протилежно закручених родинах — завжди послідовні числа Фібоначчі. Це відбувається тому, що золотий кут є «найбільш ірраціональним» можливим поворотом: жоден простий дріб обороту не наближає його добре, тож послідовні насінини ніколи не вишиковуються в марнотратні радіальні спиці.

Поширені запитання

Що таке філотаксис і що моделює ця симуляція?

Філотаксис — це вивчення того, як рослини розташовують повторювані органи — насіння, листки, квітки, лусочки — навколо стебла чи диска, зазвичай у спіральних візерунках. Ця симуляція відтворює класичний візерунок голівки соняшника за математичною моделлю Фогеля, розміщуючи кожну насінину n під кутом θ = n·δ і на відстані r = c·√n від центру, а потім відображає результат як живу, обертову 3D-хмару точок за допомогою Three.js.

Що таке золотий кут і чому саме 137,5°?

Золотий кут — це кут, який отримують, ділячи повний оберт 360° у пропорції золотого перерізу: 360° / φ² ≈ 137,50776°, де φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 — золотий переріз. Оскільки φ неможливо добре наблизити жодним простим дробом, повторюваний поворот саме на цей кут ніколи не дає двох точок в одному й тому самому кутовому положенні, тому він забезпечує найщільніше укладання насіння без проміжків.

Чому кількість спіральних рукавів відповідає числам Фібоначчі?

Видимі спіральні рукави (парастихи) утворюють дві переплетені родини — одну за годинниковою стрілкою, іншу проти. Оскільки розміщення під золотим кутом робить співвідношення чисел Фібоначчі (1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13...) найкращими можливими раціональними наближеннями φ, кількість рукавів, які можна простежити в кожній родині, майже завжди є парою послідовних чисел Фібоначчі — наприклад 21 і 34, 34 і 55, або 55 і 89 — причому більша кількість насінин дає більші пари Фібоначчі.

Що станеться, якщо змістити кут розходження від 137,5°?

Навіть невеликий зсув, наприклад до 137,3° або 137,6°, руйнує майже-ірраціональний баланс, який заважає насінинам вишиковуватися в одну лінію. Замість плавної подвійної спіралі з'являються видимі прямі радіальні спиці або широкі проміжки, бо насінини, розділені кількома обертами, тепер потрапляють майже під той самий кут. Повзунок δ (135°–140°) і кнопка «Прив'язати до золотого кута» в симуляції зроблені саме для того, щоб зробити цей контраст очевидним.

Чому радіус використовує квадратний корінь (r = c·√n), а не пряму лінію?

Модель Фогеля задає радіус r = c·√n саме тому, що площа кільця на радіусі r зростає пропорційно r, тож масштабування r квадратним коренем з індексу насінини n утримує площу, виділену на кожну насінину, сталою в міру росту візерунка назовні. Без квадратного кореня насінини біля центру були б скупчені, а насінини біля краю — розташовані надто далеко одна від одної, що не відповідає реальному росту соняшника чи шишки.