⭕ Gasket d'Apollonius — Empilement fractal de cercles

Lorsque les quatre premières courbures sont des entiers, chaque courbure générée par la récursion est également un entier, démontré directement à partir du théorème de Descartes. L'exemple classique commence avec −1, 2, 2, 3 et produit des cercles de courbures 6, 11, 14, 15, 18, 23, … Savoir quels entiers positifs apparaissent est une question de recherche active liée aux formes quadratiques et aux groupes fins en théorie des nombres.

L'extension complexe du théorème de Descartes donne le centre via k₄z₄ = k₁z₁ + k₂z₂ + k₃z₃ ± 2√(k₁k₂z₁z₂ + k₂k₃z₂z₃ + k₃k₁z₃z₁), où z = x + iy code le centre de chaque cercle. Cette formule élégante calcule à la fois la position et les deux choix de cercle tangent en une seule étape, découverte par Philip Beecroft (1842) puis par Frederick Soddy (1936).

Apollonius (v. 262–190 av. J.-C.) était un mathématicien grec de Perga, dans la Turquie moderne, surtout connu pour son traité en huit livres Coniques. Son ouvrage perdu Sur les tangences traitait de trouver des cercles tangents à trois cercles donnés — le problème d'Apollonius — qui a jusqu'à huit solutions. Le gasket qui porte son nom a été formalisé bien plus tard à l'aide de la formule de courbure de Descartes.

Oui — un lien profond. Les points de tangence d'un gasket apollonien forment l'ensemble limite d'un groupe kleinien — un groupe infini de transformations de Möbius de la sphère de Riemann. Le gasket vit sur le bord de l'espace hyperbolique 3D, et les symétries de l'empilement sont les isométries d'un tétraèdre hyperbolique. Cela a suscité des avancées majeures en théorie spectrale et en théorie ergodique sur les variétés hyperboliques.

La récursion est théoriquement infinie, mais les cercles en dessous d'environ 1 pixel de rayon à l'écran sont imperceptibles. La simulation s'arrête quand le rayon à l'écran d'un cercle tombe sous le seuil de rayon minimal. Diminuer le seuil révèle plus de détail fractal au prix d'un calcul plus long ; le curseur de profondeur ajoute un plafond dur indépendant pour empêcher une récursion incontrôlée.

L'hexlet de Soddy (1936) est un analogue 3D : étant données deux sphères internement tangentes à une troisième, exactement six sphères peuvent être simultanément tangentes aux trois et entre elles, formant un anneau. Frederick Soddy a découvert cela et l'a annoncé dans un poème publié dans Nature aux côtés du théorème de Descartes 3D pour les sphères — à la fois l'hexlet et le gasket apollonien sont des manifestations de la même géométrie inversive.

Les empilements apolloniens ont des liens profonds avec la conjecture locale-globale : on conjecture (et cela a été partiellement démontré par Bourgain, Kontorovich et d'autres) que tout entier suffisamment grand satisfaisant un ensemble fini de conditions de congruence apparaît effectivement comme courbure. Le groupe de l'empilement est un « groupe fin » au sens de la théorie des nombres, faisant de ceci l'un des fronts de recherche les plus actifs en géométrie arithmétique.

Chaque cercle se voit attribuer une profondeur de génération (0 pour les cercles de départ, 1 pour les premiers nouveaux cercles, et ainsi de suite). La fonction de palette associe la profondeur linéairement à une teinte ou une valeur de luminosité, si bien que les cercles les plus anciens et les plus grands ont une couleur et les cercles les plus récents et les plus petits en ont une autre. Cela rend la structure récursive immédiatement perceptible — chaque frontière de couleur visible marque un pas de plus dans la hiérarchie infinie.