⭕ Apollonius-Dichtung — Fraktale Kreispackung

Sind die ersten vier Krümmungen ganze Zahlen, ist auch jede durch die Rekursion erzeugte Krümmung eine ganze Zahl, direkt aus Descartes' Satz bewiesen. Das klassische Beispiel beginnt mit −1, 2, 2, 3 und erzeugt Kreise mit den Krümmungen 6, 11, 14, 15, 18, 23, … Welche positiven ganzen Zahlen auftreten, ist eine aktive Forschungsfrage, die mit quadratischen Formen und dünnen Gruppen in der Zahlentheorie verbunden ist.

Die komplexzahlige Erweiterung von Descartes' Satz liefert den Mittelpunkt über k₄z₄ = k₁z₁ + k₂z₂ + k₃z₃ ± 2√(k₁k₂z₁z₂ + k₂k₃z₂z₃ + k₃k₁z₃z₁), wobei z = x + iy den Mittelpunkt jedes Kreises kodiert. Diese elegante Formel berechnet in einem Schritt sowohl die Position als auch die beiden Tangentialkreis-Wahlmöglichkeiten, entdeckt von Philip Beecroft (1842) und später von Frederick Soddy (1936).

Apollonius (ca. 262–190 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker aus Perge im heutigen Türkei, am bekanntesten für seine achtbändige Abhandlung Kegelschnitte. Sein verlorenes Werk Über Berührungen befasste sich mit dem Finden von Kreisen, die drei gegebene Kreise berühren — das Apollonius-Problem —, das bis zu acht Lösungen hat. Die nach ihm benannte Dichtung wurde erst viel später mit Descartes' Krümmungsformel formalisiert.

Ja — eine tiefe. Die Tangentialpunkte einer Apollonius-Dichtung bilden die Grenzmenge einer Kleinschen Gruppe — einer unendlichen Gruppe von Möbius-Transformationen der Riemann-Sphäre. Die Dichtung liegt auf dem Rand des hyperbolischen 3-Raums, und die Packungssymmetrien sind die Isometrien eines hyperbolischen Tetraeders. Dies hat zu bedeutenden Fortschritten in der Spektraltheorie und der Ergodentheorie auf hyperbolischen Mannigfaltigkeiten geführt.

Die Rekursion ist theoretisch unendlich, aber Kreise unter etwa 1 Pixel Bildschirmradius sind nicht wahrnehmbar. Die Simulation hält an, wenn der Bildschirmradius eines Kreises unter die Mindestradius-Schwelle fällt. Eine niedrigere Schwelle zeigt mehr Fraktaldetail auf Kosten längerer Rechenzeit; der Tiefenregler fügt eine unabhängige harte Obergrenze hinzu, um ausufernde Rekursion zu verhindern.

Soddys Sechserkette (1936) ist ein 3D-Analogon: Gegeben zwei Kugeln, die innen tangential zu einer dritten sind, können genau sechs Kugeln gleichzeitig tangential zu allen dreien und zueinander sein und einen Ring bilden. Frederick Soddy entdeckte dies und verkündete es in einem Gedicht in Nature zusammen mit dem 3D-Descartes-Satz für Kugeln — sowohl die Sechserkette als auch die Apollonius-Dichtung sind Ausprägungen derselben inversiven Geometrie.

Apollonius-Packungen haben tiefe Verbindungen zur Lokal-Global-Vermutung: Es wird vermutet (und teilweise von Bourgain, Kontorovich und anderen bewiesen), dass jede hinreichend große ganze Zahl, die eine endliche Menge von Kongruenzbedingungen erfüllt, tatsächlich als Krümmung auftritt. Die Packungsgruppe ist im zahlentheoretischen Sinne eine „dünne Gruppe", was dies zu einer der aktivsten Forschungsfronten der arithmetischen Geometrie macht.

Jedem Kreis wird eine Generationstiefe zugewiesen (0 für die Saatkreise, 1 für die ersten neuen Kreise usw.). Die Palettenfunktion bildet die Tiefe linear auf einen Farbton oder Helligkeitswert ab, sodass die ältesten, größten Kreise eine Farbe haben und die neuesten, kleinsten eine andere. Das macht die rekursive Struktur sofort wahrnehmbar — jede sichtbare Farbgrenze markiert eine Ebene tiefer in der unendlichen Hierarchie.