Нескінченний фрактал із взаємно дотичних кіл, що генерується рекурсивно за допомогою теореми Декарта про кола. Починаючи від трьох кіл, нові кола вписуються в кожен проміжок — і так нескінченно.
k4 = k1+k2+k3 ± 2√(k1k2+k2k3+k3k1)(k1+k2+k3+k4)² = 2(k1²+k2²+k3²+k4²)k4 = k1+k2+k3 ± 2√(k1k2+k2k3+k3k1)k4·z4 = k1z1+k2z2+k3z3 ± 2√(k1k2z1z2+k2k3z2z3+k3k1z3z1)
Якщо перші чотири значення кривини — цілі числа, то кожне коло в прокладці теж має цілочисельну кривину. Класичний приклад «-1, 2, 2, 3» є одним із найвідоміших у математиці. Розмірність Хаусдорфа аполлонієвої прокладки приблизно 1,3057.
Що таке аполлонієва прокладка?
Аполлонієва прокладка — це фрактал, що будується від трьох взаємно дотичних кіл: у кожен проміжок між ними вписується нове коло за теоремою Декарта, і так рекурсивно до нескінченності. В результаті отримується нескінченно складне розташування дотичних кіл, що не перекриваються і не залишають порожніх місць.
Що таке теорема Декарта про кола?
Теорема Декарта стверджує: якщо чотири кола попарно дотикаються, їхні кривини k1, k2, k3, k4 задовольняють рівняння (k1+k2+k3+k4)² = 2(k1²+k2²+k3²+k4²). Знаючи три дотичних кола, можна знайти кривину четвертого. Теорему відкрив Рене Декарт у 1643 році в листі до принцеси Єлизавети Богемської.
Що таке кривина кола?
Кривина k = 1/r, де r — радіус кола. Велика кривина відповідає маленькому, сильно зігнутому колу. Зовнішнє обмежувальне коло отримує від'ємну кривину, бо інші кола вписані всередину нього — ця конвенція знаків необхідна для правильної роботи теореми Декарта.
Комплексне розширення теореми Декарта дає положення центру. Якщо z = x + iy — комплексна координата центру, то k4·z4 = k1z1 + k2z2 + k3z3 ± 2√(k1k2z1z2 + k2k3z2z3 + k3k1z3z1). Два знаки дають два кола, дотичних до трійки — одне в проміжку, одне ззовні, що охоплює всі три.
Так. Розмірність Хаусдорфа прокладки приблизно 1,3057 незалежно від початкової конфігурації. Вона самоподібна: кожен проміжок містить зменшену копію цілого узору, а кола стають як завгодно малими. Загальна площа кіл менша від площі обмежувального кола, залишаючи канторівський залишок у зоні дотиків.
Якщо кривини перших чотирьох кіл — цілі числа, то і кривини всіх подальших кіл у прокладці теж цілі. Класичний приклад: кривини -1, 2, 2, 3. Від'ємний -1 позначає велике обмежувальне коло. Такі прокладки глибоко пов'язані з теорією квадратичних форм і розподілом простих чисел — активна галузь сучасної математики.
Аполлоній Пергський (бл. 262–190 до н.е.) вивчав кола, що торкаються, у Стародавній Греції. Рене Декарт відкрив співвідношення кривин у 1643 році. Сучасне математичне дослідження аполлонієвих прокладок формалізовано Фредеріком Содді, а пізніше Ґрехемом, Лагаріасом, Маллоузом, Вілксом і Дзанньє, які довели глибокі результати про цілочисельні пакування у XXI столітті.
Рекурсія теоретично нескінченна, але кола дуже швидко стають меншими за піксель. Симуляція зупиняється, коли радіус кола в пікселях падає нижче мінімального порогу (за замовчуванням 1 пкс). Збільшення порогу пришвидшує рендеринг; зменшення відкриває тонші деталі фракталу. Повзунок глибини задає додатковий жорсткий ліміт на кількість рівнів рекурсії.
Так. Прокручуйте колесо миші або переміщуйте повзунок масштабу, щоб збільшити зображення. Для переміщення — клацніть і перетягніть. Деталізація залежить від мінімального радіуса — зменшіть його, щоб побачити дрібніші кола при масштабуванні. На сенсорних пристроях підтримується жест зведення пальців для масштабування та свайп для переміщення.
Кола забарвлені за глибиною рекурсії. Кола нульового покоління (початкова трійка) мають один відтінок; глибші покоління зміщують тон вздовж обраної палітри. Це наочно відображає ієрархію фракталу — старі великі кола мають відмінний колір від крихітних вкладених. Доступні чотири палітри: Фіолетова, Спектр, Жар і Лід.
Аполлонієва прокладка — один з найстаріших і найкрасивіших фракталів геометрії: нескінченна конструкція, в якій кожен проміжок між трьома взаємно дотичними колами заповнюється унікальним вписаним колом максимального розміру, а процес повторюється рекурсивно. Конструкція сягає корінням до трактату Аполлонія Пергського «Про дотики» (200 до н. е.) і задачі Аполлонія: знайти коло, дотичне до трьох заданих.
Ключовим інструментом є теорема Декарта про чотири кола (1643): (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²), де k — кривина (1/r) кожного кола. Кривина зовнішнього охоплюючого кола від'ємна. Якщо три взаємно дотичних кола мають цілі кривини, всі подальші кола в прокладці також матимуть цілі кривини.
Що таке кривина кола і як її розрахувати?
Кривина k = 1/r, де r — радіус. Маленьке коло має велику кривину; велике — малу. У теоремі Декарта охоплюючому зовнішньому колу приписується від'ємна кривина −1/R, що враховує той факт, що всі кола розміщені всередині нього, а не зовні.
Як теорема Декарта дозволяє знаходити нові кола?
Маючи три взаємно дотичних кола з кривинами k₁, k₂, k₃, кривина четвертого дотичного кола: k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₁k₃). Знак «+» дає менше коло, що вписується між трьома; знак «−» дає зовнішнє охоплення. Теоремою Декарта-Содді-Бевіка (1936) той самий результат виводиться для центрів у комплексних координатах.
Яка розмірність Хаусдорфа аполлонієвої прокладки?
Розмірність Хаусдорфа аполлонієвої прокладки δ ≈ 1,3057 — число між 1 (крива) і 2 (поверхня). Це означає, що прокладка «складніша» за будь-яку криву, але не заповнює площину. Точне значення δ обчислюється через спектральний радіус оператора переносу і є відкритою проблемою в аналітичному вигляді.
Якщо початкові чотири взаємно дотичних кола мають цілі кривини і задовольняють теорему Декарта, то всі подальші кола в прокладці також матимуть цілі кривини. Найвідоміший приклад: −1, 2, 2, 3. Це «аполлонієві ціліші», відкриті Госсе і Содді у XX ст. і пов'язані з теорією квадратичних форм і локально-глобальним принципом Сатаке-Конта.
Аполлонієва прокладка є граничною множиною групи Клейна — підгрупи Мьобіуса (дробово-лінійних перетворень), породженої інверсіями у чотирьох початкових колах. Орбіта будь-якої точки під дією цієї групи щільна у прокладці. Цей зв'язок з гіперболічною геометрією відкривається через моделі Пуанкаре: прокладка є «нескінченністю» пов'язаного тривимірного гіперболічного многовиду.
Так. Шеститочкова куля Содді є тривимірним аналогом задачі Аполлонія. Нескінченна конструкція заповнення сферами простору між чотирма взаємно дотичними сферами називається аполлонієвим упакуванням сфер. Формула Декарта узагальнюється: (k₁+…+k₅)² = 5(k₁²+…+k₅²)/2 — рівняння п'яти взаємно дотичних сфер у ℝ³.
Гекслет Содді (або ланцюг Пуассона) — нескінченний ланцюг кіл/сфер, кожна з яких дотична до двох фіксованих незв'язаних сфер і до попередньої та наступної у ланцюгу. Теорема Содді (1936) стверджує, що ланцюг завжди замикається через шість сфер — звідси «гексаграма». Це тривимірний аналог теореми Стейнера про замкнуті порізми.
Інверсія (відображення відносно кола) перетворює кола і прямі в кола і прямі, зберігаючи кути. Аполлонієва прокладка інваріантна відносно інверсій у будь-якому зі своїх кіл. Це означає, що нескінченно збільшений будь-який фрагмент прокладки виглядає як вся прокладка — класична самоподібність фракталу, але реалізована через конформні, а не афінні перетворення.
Починаючи з чотирьох початкових кіл, кожен крок рекурсії заповнює всі «трикутні» прогалини, яких після k кроків є 2·3^k − 2. Загальна кількість кіл після n кроків: 2·3^n + 2. При n=6 це вже 1 460 кіл; при n=10 — близько 118 000. Кількість зростає експоненційно, але площа проміжків убуває з розмірністю Хаусдорфа δ ≈ 1,3057.
Сама прокладка (множина кіл) не пов'язана — це дискретна множина. Але її «гранична множина» — межа в площині, що залишається після видалення всіх відкритих дисків, — є пов'язаною і рівно такою ж, як межа будь-якого відкритого диска в конструкції. Ця гранична множина є «замкнутою» і «ніде не щільною», як канторова пил.
Для кожної трійки взаємно дотичних кіл симулятор застосовує теорему Декарта в комплексній формі (Бевік, 2001): ẑ₄ = (ẑ₁k₁+ẑ₂k₂+ẑ₃k₃ ± 2√(ẑ₁ẑ₂k₁k₂+ẑ₂ẑ₃k₂k₃+ẑ₁ẑ₃k₁k₃)) / k₄, де ẑ = k·z (z — комплексний центр кола). Це дозволяє отримати точні координати центру кожного нового кола без чисельних ітерацій.