〰️ Нелінійні коливання — Осцилятор Дуффінга

Осцилятор Дуффінга ẍ + δẋ + αx + βx³ = γcos(ωt) — канонічна модель нелінійного резонансу та детермінованого хаосу. Змінюйте амплітуду вимушених коливань γ і спостерігайте перехід від періодичного руху через подвоєння періоду до хаосу. Фазовий портрет відображає траєкторії; перетин Пуанкаре зчитує одну точку за кожен виштовхувальний період; діаграма біфуркацій записує атрактори при скануванні γ.

🇬🇧 English
Фазовий портрет
Перетин Пуанкаре
Біфуркація
x(t)

Параметри

Пресети

Стан

x—
ẋ—
Енергія E—
Фаза ωt mod 2π—
Кратність T—
Рівняння:
ẍ + δẋ + αx + βx³ = γcos(ωt)
V(x) = ½αx² + ¼βx⁴
Дві ями при α<0, β>0

Про нелінійні коливання

На відміну від лінійного гармонічного осцилятора, система Дуффінга із потенціалом двох мінімумів (α < 0, β > 0) може виявляти чутливу залежність від початкових умов — ознаку детермінованого хаосу. Перетин Пуанкаре стробоскопічно семплює стан (x, ẋ) раз на виштовхувальний період: для розмірних орбіт — скінченна кількість точок, для хаосу — фрактальний дивний атрактор. Діаграма біфуркацій сканує γ і записує тривалі x-координати Пуанкаре.

Про цю симуляцію

Ця симуляція чисельно інтегрує осцилятор Дуффінга, ẍ + δẋ + αx + βx³ = γ·cos(ωt), за допомогою методу Рунге–Кутти четвертого порядку. При від'ємній лінійній жорсткості α та додатній кубічній жорсткості β потенціал системи V(x) = ½αx² + ¼βx⁴ утворює подвійну яму, тож осцилятор має дві стійкі точки спокою, між якими він може «перестрибувати» під дією періодичної вимушувальної сили. Залежно від загасання δ, амплітуди вимушених коливань γ та частоти ω траєкторія може встановитися у простій періодичній орбіті, у циклі з подвоєнням періоду або в повністю хаотичному русі — класичний приклад детермінованого хаосу в маловимірній нелінійній системі.

🔬 Що показано

Чотири пов'язані відображення однієї й тієї ж траєкторії: фазовий портрет положення x відносно швидкості ẋ, перетин Пуанкаре, що семплює (x, ẋ) раз на виштовхувальний період, розкриваючи структуру атрактора, діаграма біфуркацій, що відображає тривалі точки Пуанкаре відносно амплітуди вимушених коливань γ, та часовий графік x(t).

🎮 Як користуватися

Перетягуйте повзунки α, β, δ, γ та ω, щоб змінювати форму потенціальних ям, загасання та вимушувальну силу. Скористайтеся кнопками пресетів «Розм. коливання», «Здвоєний пер.», «Хаотичний» та «Жорстка пружина», щоб одразу перейти до характерних режимів, та натисніть «Скан біфуркацій», щоб пройти γ від 0 до 1.5 і побудувати відповідну діаграму біфуркацій. Перемикайтеся між вкладками «Фазовий портрет», «Перетин Пуанкаре», «Біфуркація» та x(t), щоб змінити відображення на основному полотні.

💡 Чи знали ви?

Рівняння Дуффінга вивів Георг Дуффінг ще у 1918 році для опису поведінки нелінійних механічних осциляторів із «твердіючою» пружиною — задовго до того, як «теорія хаосу» стала окремою галуззю науки. Пізніше воно стало одним із перших підручникових прикладів для демонстрації переходу до хаосу через подвоєння періоду.

Часті запитання

Чому осцилятор Дуффінга називають «нелінійним»?

Доданок βx³ робить відновлювальну силу нелінійною: на відміну від простої пружини, де сила пропорційна зміщенню, тут сила зростає з кубом x. У поєднанні з від'ємним лінійним доданком α це створює потенціал з двома ямами, де сумарна відновлювальна сила може штовхати масу до однієї з двох стійких позицій замість єдиної точки рівноваги.

Чому система має дві «ями»?

Коли α від'ємне, а β додатне, функція потенціальної енергії V(x) = ½αx² + ¼βx⁴ має локальний максимум у точці x = 0 та два локальні мінімуми обабіч нього. Ці мінімуми і є двома ямами; без зовнішньої сили система осіла б у тій ямі, до якої була ближче спочатку, але періодична вимушувальна сила може перекидати її туди-сюди.

Що таке перетин Пуанкаре і навіщо семплувати раз на період?

Перетин Пуанкаре бере неперервну траєкторію і записує її стан лише через фіксовані інтервали — тут раз на кожен виштовхувальний період T = 2π/ω. Для суто періодичної орбіти це дає одну точку, що повторюється, для циклу з подвоєним періодом — дві точки, що чергуються, а для хаотичного руху — розсіяну, фрактало-подібну хмару точок, яку називають дивним атрактором.

Як діаграма біфуркацій пов'язана з фазовим портретом?

Діаграма біфуркацій будується шляхом фіксації всіх параметрів, крім γ, прогону симуляції до сталого стану для кожного значення γ і нанесення отриманих x-координат Пуанкаре як вертикальних зрізів. Там, де діаграма показує одну точку на кожне γ, фазовий портрет показує простий періодичний цикл; там, де вона розходиться у щільну смугу, фазовий портрет показує заплутану, неповторювану траєкторію, характерну для хаосу.

Чому збільшення амплітуди вимушених коливань γ призводить до хаосу?

Зі зростанням γ енергія, що подається за кожен період, збільшується, і врешті траєкторія отримує достатньо енергії, щоб вирватися з однієї ями та перейти в іншу. Поблизу цього переходу система стає надзвичайно чутливою до початкових умов: два майже однакові початкові стани розходяться експоненційно, що є визначальною ознакою детермінованого хаосу, видимою тут як каскади подвоєння періоду, що переходять у широкосмуговий, неперіодичний рух.