〰️ Нелінійні коливання — Осцилятор Дуффінга

Осцилятор Дуффінга ẍ + δẋ + αx + βx³ = γcos(ωt) — канонічна модель нелінійного резонансу та детермінованого хаосу. Змінюйте амплітуду вимушених коливань γ і спостерігайте перехід від періодичного руху через подвоєння періоду до хаосу. Фазовий портрет відображає траєкторії; перетин Пуанкаре зчитує одну точку за кожен виштовхувальний період; діаграма біфуркацій записує атрактори при скануванні γ.

Фазовий портрет

Перетин Пуанкаре

Біфуркація

x(t)

Параметри

α (лін. жорсткість) -1 β (куб. жорсткість) 1 δ (загасання) 0.3 γ (амплітуда) 0.35 ω (частота) 1.2

Пресети

Стан

x—

ẋ—

Енергія E—

Фаза ωt mod 2π—

Кратність T—

Рівняння:
ẍ + δẋ + αx + βx³ = γcos(ωt)
V(x) = ½αx² + ¼βx⁴
Дві ями при α<0, β>0

Про нелінійні коливання

На відміну від лінійного гармонічного осцилятора, система Дуффінга із потенціалом двох мінімумів (α < 0, β > 0) може виявляти чутливу залежність від початкових умов — ознаку детермінованого хаосу. Перетин Пуанкаре стробоскопічно семплює стан (x, ẋ) раз на виштовхувальний період: для розмірних орбіт — скінченна кількість точок, для хаосу — фрактальний дивний атрактор. Діаграма біфуркацій сканує γ і записує тривалі x-координати Пуанкаре.