Геометрична інтерпретація: A відображає одиничну
окружність в еліпс з напівосями σ₁ (вздовж u₁) і
σ₂ (вздовж u₂). Стовпці V — це
вхідні напрямки, які зазнають найбільшого масштабування.
Застосування: аналіз головних компонент (PCA),
стиснення зображень, псевдообернена матриця, зниження шуму,
латентний семантичний аналіз. Ядерна норма ‖A‖* = Σ σᵢ
використовується в регуляризації малого рангу.
🔢 Візуалізатор SVD
Про цю симуляцію
Сингулярний розклад (SVD) розкладає будь-яку дійсну матрицю на поворот,
чисте розтягнення та ще один поворот — це найкорисніший матричний розклад
у прикладній математиці. Візуалізатор показує цю геометрію наочно:
редагуйте матрицю 2×2 і дивіться, як одинична окружність зліва
перетворюється на еліпс справа. Той самий розклад лежить в основі аналізу
головних компонент, стиснення зображень, рекомендаційних систем і
зниження шуму в багатьох конвеєрах обробки даних.
Як це працює
Праві сингулярні вектори v₁, v₂ показують вхідні напрямки, які зазнають найбільшого розтягнення.
Матриця A відображає пунктирну одиничну окружність в еліпс із напівосями, що дорівнюють сингулярним значенням σ₁ та σ₂.
Осі еліпса спрямовані вздовж лівих сингулярних векторів u₁, u₂, масштабованих сингулярними значеннями.
Стовпчикова діаграма показує кожне σ та яку частку енергії матриці захоплює найбільше сингулярне значення.
Ключові рівняння
A = U·Σ·Vᵀ — U містить ліві сингулярні вектори (поворот на виході),
Σ — діагональна з σ₁ ≥ σ₂ ≥ 0, а Vᵀ містить праві сингулярні вектори (поворот на вході).
Число обумовленості cond = σ₁ / σ₂, а спектральна норма ‖A‖₂ = σ₁.
Поля a, b, c, d — введіть елементи матриці A та спостерігайте оновлення SVD у реальному часі.
Панель статистики — σ₁, σ₂, визначник, ранг, спектральна норма та число обумовленості.
? — відкрити цю інформаційну панель.
А чи знали ви?
Нульове сингулярне значення означає, що матриця стискає цілий напрямок у
ніщо — саме тоді її ранг падає, а перетворення стає необоротним. Тому SVD
є надійним способом виявляти та обробляти майже вироджені матриці в
наукових обчисленнях.