Дві маси, з'єднані зі стінами та одна з одною пружинами, мають нормальні моди — колективні коливання, при яких вся система рухається з єдиною частотою. Симетрична мода (ω₋): обидві маси рухаються в один бік. Антисиметрична мода (ω₊): маси рухаються у протилежних напрямах. При слабкому зв'язку κ обидві частоти близькі, і енергія перекачується між масами — виникає характерна картина биття.
Натисніть Симетрична, щоб збудити низькочастотну моду (обидві маси відхиляються в один бік). Натисніть Антисиметрична для високочастотної моди. Натисніть Биття — лише перша маса відхилена; спостерігайте, як енергія повністю переходить до другої маси і назад. Зменшіть κ — збільшиться період биття. Збільшіть загасання γ — спостерігайте розсіювання енергії.
Фізика зв'язаних осциляторів лежить в основі широкого кола явищ. Фонони у кристалах — квантовані нормальні моди зв'язаних атомів. Осциляції нейтрино виникають через квантове змішування двох масових власних станів — квантовий аналог картини биття. Навіть парниковий ефект CO₂ пов'язаний з антисиметричною згинальною модою молекули, що поглинає інфрачервоне випромінювання.
Ця симуляція моделює дві маси, кожна з яких прикріплена до стіни пружинами k₁ та k₂ і з'єднана одна з одною пружиною зв'язку κ. Розв'язання пов'язаних рівнянь руху дає дві нормальні моди: симетричну моду ω₋, в якій обидві маси рухаються в одному напрямку, і антисиметричну моду ω₊ = √((k + 2κ)/m), в якій вони рухаються у протилежних напрямках. Рух інтегрується чисельно симплектичним методом з вісьмома підкроками на кадр.
Шість повзунків задають жорсткості пружин k₁ і k₂, зв'язок κ, дві маси m₁ і m₂ та коефіцієнт загасання γ. Кнопки збуджують симетричні, антисиметричні або початкові умови биття, а індикатори показують обидві модальні частоти, період биття та повну енергію. Зв'язані осцилятори є основою фононів у кристалах, молекулярних коливань, зв'язаних маятників та резонансних електричних кіл.
Що насправді показує ця симуляція?
Вона демонструє дві маси, з'єднані пружинами зі стінами та між собою, з відображенням їхніх зміщень у реальному часі вгорі та у вигляді хвильових форм внизу. Ви можете збуджувати чисті нормальні моди або стан биття і спостерігати передачу енергії між масами.
Що таке нормальна мода?
Нормальна мода — це картина руху, при якій кожна частина системи коливається з єдиною спільною частотою. Система з двох мас має дві такі моди, і будь-який загальний рух є їхньою суперпозицією. Збудження однієї моди утримує систему в ній нескінченно довго (не враховуючи загасання).
У чому різниця між симетричною та антисиметричною модами?
У симетричній моді обидві маси рухаються в одному напрямку, тому пружина зв'язку ніколи не розтягується і частота ω₋ нижча. В антисиметричній моді вони рухаються у протилежних напрямках, сильно розтягуючи пружину зв'язку, що підвищує частоту ω₊.
Пружини k₁ і k₂ задають жорсткість пружин, що з'єднують кожну масу зі стіною (від 0,1 до 5). Зв'язок κ задає силу пружини між масами (від 0,01 до 3). Маси m₁ і m₂ задають значення мас (від 0,2 до 5), а загасання γ керує втратами енергії (від 0 до 0,15).
Биття виникає, коли лише одна маса починає з відхиленням, збуджуючи одночасно обидві моди. Оскільки їхні частоти дещо відрізняються, вони виходять і входять у фазу, тому амплітуда кожної маси то наростає, то спадає. Енергія повністю перетікає від однієї маси до іншої і назад протягом одного періоду биття.
Період биття — це 2π, поділене на різницю між двома модальними частотами: ω₊ мінус ω₋. Коли зв'язок κ слабкий, дві частоти близькі одна до одної, різниця мала, і період биття зростає; сильний зв'язок скорочує його.
Рівняння руху інтегруються точно симплектичним методом, який добре зберігає енергію протягом тривалих запусків. Відображувані модальні частоти використовують спрощену формулу для рівних мас, тому при сильно нерівних масах або пружинах позначені значення ω є наближеними, тоді як сам рух залишається правильним.
Загасання γ додає силу, пропорційну швидкості кожної маси, відбираючи кінетичну енергію із системи. При загасанні вище нуля коливання поступово затухають, а показник повної енергії прямує до нуля. Встановіть нуль, щоб спостерігати ідеальний, незатухаючий рух і чисте биття.
Атоми в молекулі поводяться як маси на пружинах, а їхні колективні коливання є нормальними модами. Антисиметрична мода розтягування вуглекислого газу несе осцилюючий дипольний момент, що поглинає інфрачервоне світло — саме тому CO₂ є парниковим газом.
Вони зустрічаються повсюди у фізиці та інженерії: фонони в кристалічних гратках, зв'язані маятники, синхронізація метрономів, коливання мостів і будівель, резонансні LC-кола. Квантовими аналогами є осциляції нейтрино, де змішування масових станів відображає картину биття, що спостерігається тут.
При загасанні γ, встановленому на нуль, система є консервативною, тому кінетична та пружна потенційна енергія зберігаються. Симплектичний інтегратор розроблений так, щоб підтримувати цю суму майже сталою протягом тривалих симуляцій, тому показник енергії ледь дрейфує навіть після багатьох коливань.