Інтерактивне пояснення перетворення Фур'є: будь-який складний сигнал можна розкласти в суму простих синусоїд. Малюйте хвилю і спостерігайте, як вона розкладається на частотні складові.
Кожний хвилеподібний сигнал є сумою синусоїд з різними частотами, амплітудами і фазами. Перетворення Фур'є визначає найкращі коефіцієнти: знаходить, скільки кожної частоти міститься у сигналі.
Малюйте довільну хвилю у верхньому полі і дивіться, як відображається її частотний спектр. Клацайте на смуги спектру, щоб увімкнути або вимкнути окремі частоти. Спробуйте намалювати прямокутну хвилю.
Ваше вухо щодня виконує перетворення Фур'є: воно перетворює звукові хвилі у частотні компоненти, а мозок сприймає їх як окремі звуки. Зворотнє перетворення Фур'є лежить і в основі МРТ-томографії.
Ця демонстрація будує періодичні форми хвиль, додаючи разом чисті синусоїдальні тони, та ілюструє центральний результат ряду Фур'є: будь-який повторюваний сигнал можна подати як суму гармонічно пов'язаних синусоїд. Вісім гармонік розташовані над основною частотою 220 Гц (нота A3), а цілі кратні 2f, 3f і так далі утворюють гармонічний спектр. Регулюючи амплітуду кожної гармоніки aₙ, ви в реальному часі змінюєте форму складеної хвилі, спостерігаєте за її частотним спектром і чуєте отриманий тембр через осцилятори Web Audio.
Складена крива обчислюється як адитивна сума aₙ·sin((n+1)t) по восьми гармоніках, потім нормалізується і малюється поряд зі своїми ледь помітними окремими складовими та стовпчиковою діаграмою частотного спектру. Кнопки пресетів завантажують класичні амплітудні рецепти: пилкоподібна (aₙ = 1/n), меандр (лише непарні гармоніки, 1/n), трикутна (непарні гармоніки, 1/n²) та одиничний синус.
Оберіть пресет (Пилка, Меандр, Трикутник або Синус) або потягніть вісім повзунків амплітуди aₙ, кожен з яких підписаний своєю частотою — від 220 Гц до 1760 Гц. Натисніть кнопку Звук, щоб відтворити гармоніки як живі осцилятори, та увімкніть Епіцикли, щоб побачити обертові кола, радіуси яких відповідають кожній амплітуді й вимальовують хвилю.
Жозеф Фур'є запровадив ці ряди в 1822 році, вивчаючи теплопровідність, а не звук. Та сама математика тепер лежить в основі стиснення зображень JPEG, аудіо MP3, реконструкції МРТ та сейсмології, бо кожна з цих галузей працює в частотній області.
Синтез Фур'є — це процес побудови складної періодичної форми хвилі шляхом додавання простих синусоїд на гармонічних частотах. Це зворотний бік аналізу Фур'є, який розкладає сигнал на ці складові. Ця симуляція підсумовує вісім синусоїдальних гармонік над основною частотою 220 Гц, щоб побудувати хвилі на зразок пилкоподібної, меандру та трикутної.
Для кожної точки вздовж горизонтальної осі вона обчислює суму aₙ·sin((n+1)t) для гармонік від першої до восьмої, де aₙ — амплітуда кожного повзунка, а t пробігає один повний період. Результат нормалізується, щоб поміститися у видиму область, і малюється як яскрава складена крива, тоді як ледь помітні кольорові лінії показують внесок окремих гармонік.
Кожен повзунок задає амплітуду aₙ однієї гармоніки, масштабовану від 0 до 1, а його підпис показує відповідну частоту (220 Гц, 440 Гц, 660 Гц і так далі аж до 1760 Гц). Пресети просто завантажують відомі амплітудні шаблони: 1/n для пилкоподібної, лише непарні 1/n для меандру, лише непарні 1/n² для трикутної та один доданок для чистого синуса.
Так, у межах моделі. Кнопка Звук створює вісім справжніх синусоїдальних осциляторів, налаштованих на точні гармонічні частоти й зважених за значеннями ваших повзунків, тож тембр, який ви чуєте, відповідає формі хвилі на екрані. Оскільки використовуються лише вісім гармонік, хвилі з різкими краями, як-от меандр, показують плавні брижі замість ідеально вертикальних боків.
Їхня симетрія змушує всі парні гармоніки зникати в ряді Фур'є, тож залишаються лише непарні кратні основної частоти. Помітне заокруглення меандру біля його країв, яке зберігається незалежно від кількості доданків, — це явище Гіббса, фундаментальна особливість усіченого ряду Фур'є, а не вада симуляції.