Вібруюча пластина створює приголомшливі фігури Хладні. Пісок накопичується вздовж вузлових ліній — місць, де пластина не коливається. Різні частоти породжують різні геометричні візерунки.
Пластина коливається на власних частотах. Пісок переміщується від пучностей (максимум коливань) і збирається у вузлах (нульове коливання), розкриваючи форму коливальної моди.
Змінюйте частоту коливань, щоб побачити появу різних фігур. Вищі частоти створюють складніші, заплутаніші патерни.
Ернст Хладні продемонстрував ці фігури Наполеону у 1809 році за допомогою смичка на металевій пластині. Наполеон був настільки вражений, що профінансував дослідження Хладні — один з перших урядових грантів на науку.
Ця симуляція відтворює вузлові патерни, що виникають, коли квадратну пластину доводять до резонансу й посипають піском. Фрагментний шейдер GLSL обчислює амплітуду стоячої хвилі в кожному пікселі, використовуючи суперпозицію двох мод квадратної пластини, s(x,y) = a·cos(nπx)cos(mπy) + b·cos(mπx)cos(nπy), і малює яскравий пісок там, де амплітуда перетинає нуль, окреслюючи вузлові лінії, де пластина залишається нерухомою.
Повзунки m і n задають цілі номери мод (1–12), Суміш a/b змішує дві накладені моди, тож симетричні фігури з'являються близько 50%, Збудження анімує інтенсивність вібрації в часі, а палітра перефарбовує пісок. Фігури Хладні не лише красиві: вони лежать в основі проєктування музичних інструментів, гучномовців, а також налаштування дзвонів і резонансних структур.
Що таке фігура Хладні?
Фігура Хладні — це візерунок, який утворюють дрібні частинки, наприклад пісок, на вібруючій пластині, що збуджена на одній зі своїх резонансних частот. Частинки відскакують від ділянок сильного руху й осідають уздовж вузлових ліній, де пластина не вібрує, роблячи невидиму форму моди видимою.
Як ця симуляція створює патерни?
Вона запускає фрагментний шейдер GLSL на GPU, який обчислює амплітуду стоячої хвилі для кожного пікселя квадратної пластини. Там, де абсолютна амплітуда близька до нуля, шейдер малює яскравий пісок; всюди інде він тонує поле відповідно до знаку та сили зміщення. Жодні фізичні частинки не моделюються, патерн обчислюється безпосередньо з хвильового рівняння.
Що роблять повзунки m і n?
m і n — цілі номери мод від 1 до 12, які обирають, яка коливальна мода квадратної пластини відображається. Фактично вони задають кількість півхвиль уздовж кожної осі, тож більші значення дають більше ліній і вигадливіші фігури. Індикатор на екрані показує поточну пару m, n.
Зміщення моделюється як s(x,y) = a помножене на cos(n pi x)cos(m pi y) плюс b помножене на cos(m pi x)cos(n pi y), суперпозиція двох вироджених мод пластини. Пісок збирається там, де абсолютне значення s приблизно дорівнює нулю, а резонансна частота масштабується приблизно як f, пропорційне квадратному кореню з (m у квадраті плюс n у квадраті).
Суміш a/b задає відносні ваги a та b двох накладених мод. На крайніх значеннях видно лише одну моду, що дає просту сітку прямих вузлових ліній. Поблизу середини 50% дві моди поєднуються порівну, утворюючи симетричні, вигнуті фігури Хладні, якими славляться ці пластини.
Збудження керує інтенсивністю змінної в часі вібрації, що анімує пластину. Внутрішньо воно модулює амплітуду стоячої хвилі через синусоїдний член, прив'язаний до годинника симуляції, тож поле плавно пульсує. Воно також трохи звужує поріг піску, роблячи вузлові лінії різкішими зі зростанням збудження.
Фігури — це ідеалізована аналітична модель, а не повна симуляція пружності. Косинусна суперпозиція дуже добре відтворює симетрію й топологію реальних мод квадратної пластини, але справжня пластина також залежить від граничних умов, жорсткості матеріалу та згасання. Симуляція чудово підходить для розуміння форм мод, хоча точні частоти реальної пластини потребують бігармонічного рівняння пластини.
На вібруючій пластині пучності сильно трясуться, тоді як вузлові лінії залишаються нерухомими. Зерна, що лежать на пучностях, розкидаються й поступово мігрують, доки не досягнуть вузлової лінії, де немає прискорення, яке б їх зрушило. З часом майже весь пісок накопичується вздовж цих нерухомих кривих, окреслюючи моду.
Сітка пресетів пропонує вибір добре відомих пар мод, від простих фігур низького порядку, як-от (1,1), до насиченіших патернів на кшталт (5,2). Натискання пресета встановлює повзунки m і n разом, тож ви можете одразу перейти до впізнаваної фігури, не перебираючи кожну комбінацію вручну.
Розуміння мод пластини є центральним для акустики та виготовлення інструментів. Майстри скрипок і гітар простукують і налаштовують деки на сприятливі форми мод, проєктувальники гучномовців і панелей уникають небажаних резонансів, а інженери вивчають модальні патерни, щоб запобігти втомі в лопатях турбін, панелях транспортних засобів та інших тонких вібруючих структурах.