∫
Інтеграл Рімана
∫ f(x) dx = lim(N→∞) Σ f(xᵢ)·Δx — площа під кривою як границя прямокутних сум
Функція:
Метод:
∫ Інтеграл Рімана
Визначений інтеграл визначається як границя сум Рімана: ∫ₐᵇ f(x) dx = lim(N→∞) Σᵢ f(x*ᵢ)·Δx де Δx = (b−a)/N, а x*ᵢ — точка вибору в i-му підінтервалі.
Чотири класичні методи наближення:
- Лівий: x*ᵢ = a + i·Δx — ліве значення прямокутника. Похибка O(Δx).
- Правий: x*ᵢ = a + (i+1)·Δx — праве значення. Теж O(Δx).
- Середня точка: x*ᵢ = a + (i+½)·Δx — точніший метод, похибка O(Δx²).
- Трапеція: ½(f(xᵢ)+f(xᵢ₊₁))·Δx — з'єднує верхні кути лінією. Похибка O(Δx²).
Оцінка похибки: |Похибка| ≤ M·(b−a)³/(12N²) — для середньої точки та трапецій (M = max|f″|). Метод Сімпсона (формула 3/8): S = (2·Середня + Трапеція) / 3 — похибка O(Δx⁴).