Спостерігайте, як 2D модель Ізінга зазнає фазового переходу другого роду при критичній температурі Tc ≈ 2.269 J/kB (Онзагер, 1944). Нижче Tc ґратка спонтанно намагнічується у великі вирівняні домени; вище — спіни термічно перемішані у параmagnet. Прямо при Tc флуктуації охоплюють усі масштаби — фрактальний візерунок, відомий як критична опалесценція.
E = −J Σ_(⟨i,j⟩) sᵢ sⱼ − H Σᵢ sᵢ
P(переворот) = min(1, exp(−ΔE / kT))
m = |Σ sᵢ| / N²
χ = N² · (⟨m²⟩ − ⟨m⟩²) / kT
Tc = 2J / (kB · ln(1+√2)) ≈ 2.2692 J/kB
Точний розв'язок 2D моделі Ізінга Ларса Онзагера 1944 року вважається одним із найвизначніших досягнень теоретичної фізики. Виведені ним критичні показники — β = 1/8, γ = 7/4 — виявляють універсальність, спільну для реальних фазових переходів у рідинах, рідких кристалах і навіть деяких космологічних моделях. При точно Tc кореляційна довжина розбігається до нескінченності; тому візерунок доменів виглядає статистично однаково на будь-якому масштабі.
Фазовий перехід — це різка зміна макроскопічного стану системи, зумовлена керуючим параметром, таким як температура. У 2D моделі Ізінга перехід розділяє впорядковану феромагнітну фазу (T < Tc) від невпорядкованої парамагнітної фази (T > Tc).
Параметром порядку є спонтанна намагніченість на спін: m = (1/N²)|Σ sᵢ|. Вона дорівнює 1 у повністю вирівняному основному стані й падає до 0 вище критичної температури Tc, слугуючи кількісною мірою ступеня порядку в системі.
Ларс Онзагер точно розв'язав 2D модель Ізінга на квадратній ґратці у 1944 році, отримавши Tc = 2J / (kB ln(1 + √2)) ≈ 2.2692 J/kB. Це єдина точно відома критична температура для нетривіальної моделі статистичної механіки у двох вимірах.
На кожному кроці випадково вибирається спін. Обчислюється зміна енергії ΔE = 2J sᵢ Σⱼ sⱼ. Якщо ΔE ≤ 0, переворот приймається безумовно. Інакше він приймається з імовірністю exp(−ΔE / kBT), що задовольняє умову детального балансу і гарантує збіжність до розподілу Больцмана.
Сприйнятливість χ = N(⟨m²⟩ − ⟨|m|⟩²) / kBT вимірює силу відгуку намагніченості на мале прикладене поле. При критичній точці флуктуації охоплюють усі масштаби довжини, тому χ розбігається як |T − Tc|^(−γ), де γ = 7/4 у двох вимірах.
Кореляційна довжина ξ характеризує типовий розмір кластерів спінів, що флуктуюють разом. Поза Tc вона скінченна; при Tc розбігається як ξ ~ |T − Tc|^(−ν), де ν = 1 для 2D моделі Ізінга. Це робить візерунок доменів безмасштабним — явище критичної опалесценції.
Критичні показники описують, як термодинамічні величини розбігаються або обертаються на нуль при наближенні до критичної точки. Для 2D моделі Ізінга: β = 1/8 (намагніченість), γ = 7/4 (сприйнятливість), ν = 1 (кореляційна довжина), α = 0 (логарифмічне розбігання теплоємності).
Універсальність — це вражаючий факт, що системи з різними мікроскопічними складовими мають однакові критичні показники, якщо вони мають однакову просторову розмірність і симетрію параметра порядку. Наприклад, критична точка рідина–газ і одноосний магніт належать до одного 3D класу університетності Ізінга.
Граничні умови з періодичністю з'єднують ліво з правим і верх із низом, розміщуючи ґратку на торі. Це усуває поверхневі ефекти, що пригнічують впорядкування і зсувають видиму Tc, дозволяючи невеликій ґратці апроксимувати нескінченну систему значно краще, ніж відкриті межі.
Зовнішнє поле H порушує симетрію вгору–вниз. При H ≠ 0 різкого фазового переходу немає — намагніченість плавно змінюється з температурою. Справжній перехід другого роду існує лише вздовж осі H = 0 нижче Tc, закінчуючись у критичній точці (Tc, H = 0).