Кільватер Кельвіна — це V-подібний хвильовий візерунок, видимий позаду будь-якого судна, що рухається глибокою водою. Лорд Кельвін у 1887 році довів, що півкут цього клина завжди становить 19,47° (= arcsin 1/3), незалежно від швидкості судна — несподіваний результат, що випливає суто з дисперсійного співвідношення глибокої води ω² = gk. Кільватер є суперпозицією двох сімейств хвиль: поперечних хвиль із гребенями майже перпендикулярно до курсу та розбіжних хвиль, чиї гребені розходяться під крутішими кутами.
Регулюйте Швидкість судна, щоб бачити, як довжина хвилі масштабується з V², тоді як кут оболонки залишається фіксованим на 19,47° (глибока вода). Збільшуйте Джерела хвиль для щільнішої, реалістичнішої суперпозиції. Перемкніть на Мілку воду, щоб активувати дисперсійне співвідношення з tanh — за малих чисел Фруда за глибиною кут розширюється, а вище критичного числа Фруда Fr = 1 візерунок схлопується у вужчий клин, схожий на конус Маха. Жовті штрихові лінії завжди позначають межу кута Кельвіна.
У 2014 році супутникові вимірювання показали, що правило 19,47° на практиці порушується для дуже великих або дуже швидких суден — коли довжина корпусу судна порівнянна з домінантною довжиною хвилі, модель одного точкового джерела не працює, і видимий кут звужується. Це викликало відновлений інтерес до столітньої теорії та призвело до уточнених прогнозів для сучасних супертанкерів і контейнеровозів.
Кільватер Кельвіна — один із найелегантніших результатів класичної механіки рідин. Лорд Кельвін у 1887 році показав, що півкут V-подібного кільватера завжди становить 19,47° на глибокій воді, випливаючи з унікального дисперсійного співвідношення поверхневих гравітаційних хвиль. Ця симуляція накладає внески від кількох точкових джерел, розподілених уздовж сліду судна, кожне з яких випромінює колові хвилі з довжиною хвилі λ = 2πV²/g, відтворюючи знайомі поперечні та розбіжні хвильові рукави візерунка Кельвіна.
Поверхневі гравітаційні хвилі глибокої води підкоряються ω² = gk, що дає фазову швидкість c = √(g/k) та групову швидкість c₁ = c/2. Кут Кельвіна визначається умовою, що гребені хвиль від усіх минулих позицій судна конструктивно інтерферують уздовж лінії, що утворює arcsin(1/3) із курсом. Цей результат 19,47° не залежить від швидкості.
Використовуйте Швидкість судна для масштабування довжин хвиль (λ ∝ V²); збільшуйте Джерела хвиль для багатшої інтерференції; перемикайте Мілку для переходу на дисперсію ω² = gk·tanh(kh). Жовті штрихові напрямні показують межу Кельвіна 19,47°. Пауза/Пуск зупиняє анімацію; Скинути очищає слід.
Кут 19,47° такий самий, як широта Великої Червоної Плями на Юпітері та гори Олімп на Марсі — числовий збіг, але корисний мнемонічний прийом. Він дорівнює arcsin(1/3), тому й з'являється в геометрії побудови Кельвіна.
Кут випливає з дисперсії хвиль глибокої води: ω² = gk дає групову швидкість c₁ = c/2. Хвильовий пакет, випромінений, коли судно проходило точку, рухається зі швидкістю c₁, а судно — зі швидкістю V. Аналіз стаціонарної фази показує конструктивну інтерференцію вздовж лінії під arcsin(1/3) ≈ 19,47° незалежно від V.
Поперечні хвилі мають гребені майже перпендикулярні до курсу судна й відповідають за характерні «брижі» в середині кільватера. Розбіжні хвилі мають гребені під кутом близько 35° до курсу й утворюють зовнішні рукави V. Обидві створюються одним механізмом і разом складають візерунок Кельвіна.
Минулі позиції судна записуються через регулярні інтервали як точкові джерела. Кожне джерело випромінює колову хвилю з довжиною хвилі λ = 2πV²/g та амплітудою, що спадає як 1/√r. Підняття поверхні в кожному пікселі — це сума по всіх джерелах, обчислена з правильною фазою для часу, що минув від випромінювання. Отриманий інтерференційний візерунок відтворює рукави Кельвіна.
На глибокій воді швидкість змінює лише довжину хвилі (λ ∝ V²) — швидші судна створюють довші хвилі — але кут оболонки 19,47° суворо не залежить від швидкості. На мілкій воді картина змінюється: якщо швидкість судна перевищує максимальну швидкість хвиль на мілководді √(gh), візерунок звужується, як конус Маха.
Коли глибина води h скінченна, дисперсійне співвідношення стає ω² = gk·tanh(kh). Швидкість хвилі обмежена √(gh). Нижче критичного числа Фруда за глибиною Fr = V/√(gh) = 1 кут розширюється; вище нього (транскритичний потік) хвилі накопичуються у вужчий клин, схожий на конус Маха, і кут Кельвіна вже не дорівнює 19,47°.
Для чистого візерунка добре працюють 12–20 джерел на характеристичну довжину хвилі. Замало джерел дають розріджену, плямисту інтерференцію; забагато — обчислювально дорогі в попіксельній сумі. Повзунок дозволяє досліджувати цей компроміс. Реальні океанські кільватери включають неперервний розподіл джерел, що інтегрується до ідеалізованого результату Кельвіна.
Так. Супутники з радаром із синтезованою апертурою (SAR) регулярно знімають кільватери Кельвіна в морі. Темна V-подібна область позаду суден чітко видима, бо хвильовий візерунок змінює радарне зворотне розсіювання від морської поверхні. Виявлення суден за сигнатурами кільватера — практичне застосування в морському спостереженні.
У 2014 році Рабо та Муазі опублікували супутникові вимірювання, що показали: великі швидкі судна (число Фруда за корпусом Fr₁ = V/√(gL) близьке до або вище 0,5) створюють видимі кути кільватера вужчі за 19,47°. Коли домінантна довжина хвилі λ = 2πV²/g наближається до довжини корпусу судна L, судно не можна вважати точковим джерелом, і інтерференція зміщується до коротших, похиліших хвиль, звужуючи видимий кут.
Симуляція передає суттєву фізику — дисперсію, суперпозицію, оболонку 19,47°, ефекти мілкої води — але є педагогічним інструментом, а не інженерною моделлю. Реальне прогнозування кільватера судна потребує панельних методів або кодів граничних елементів, що враховують геометрію корпусу, поправки на швидкість руху, скінченну осадку та нелінійні ефекти вільної поверхні.
У режимі мілкої води панель показує число Фруда за глибиною Fr = V/√(gh), де h — еталонна глибина, масштабована до поточної довжини хвилі. Fr < 1 — докритичний режим (стандартний широкий кільватер Кельвіна), Fr = 1 — критичний (хвильова система руйнується), а Fr > 1 — надкритичний (вузький кільватер, схожий на конус Маха). У режимі глибокої води відображається «глибока», оскільки ефекти глибини незначні.