Гармонограф — це механічний пристрій із двома або більше маятниками, які разом ведуть перо по папері, створюючи складні криві, схожі на фігури Ліссажу. Рух кожного маятника описується загасаючим синусом: x(t) = A sin(f1*t + f1)*e^(-d1*t) та y(t) = B sin(f2*t + f2)*e^(-d2*t), де f — частота, f — початкова фаза, d — коефіцієнт загасання. Коли відношення частот f1/f2 є простим раціональним числом (1:1, 2:3, 3:4), крива замикається у впізнавану фігуру Ліссажу; ірраціональні відношення дають незамкнені криві, що поступово звужуються всередину, утворюючи характерні густі спірографічні візерунки вікторіанських наукових демонстрацій.
Цей симулятор дозволяє регулювати частоту, фазу, амплітуду і загасання кожного маятника незалежно. Спостерігайте, як невеликі зміни відношення частот переводять замкнені форми у відкриті спіралі, а збільшення загасання швидше стягує фігуру.
У чому різниця між гармонографом і фігурою Ліссажу?
Фігура Ліссажу — це ідеалізований випадок без загасання: x = A sin(f1*t + f), y = B sin(f2*t). Вона утворює ідеально замкнену, стабільну криву, що повторюється нескінченно. Гармонограф додає експоненційне загасання e^(-dt), тому амплітуда спадає і крива закручується всередину, ніколи точно не повторюючись. Якщо обидва маятники загасають, крива зрештою прямує до початку координат.
Коли крива гармонографа замикається?
Без загасання крива замикається тоді і тільки тоді, коли відношення частот f1/f2 = p/q — раціональне число у найменших членах. Крива робить q повних циклів по x і p по y перед поверненням до початкової точки. При загасанні крива технічно ніколи не замикається — вона закручується всередину — але майже раціональні відношення дають візерунки, що виглядають замкненими до того, як амплітуда стає незначною.
Яку роль відіграє фаза у візерунках гармонографа?
Різниця фаз f1 - f2 контролює орієнтацію і форму фігури. При f = 0 або p відношення 1:1 дає пряму діагональну лінію; при f = p/2 (за рівних амплітуд) — коло. Для відношення 2:3 повільна зміна фази обертає трипелюсткову фігуру через усі орієнтації. У фізичному гармонографі фаза задається місцем, з якого відпускають маятники.
Фігури Ліссажу застосовуються для вимірювання відношення частот і різниці фаз між двома синусоїдальними сигналами за допомогою осцилографа в режимі XY. Якщо фігура — замкнений еліпс, різницю фаз f можна прочитати з відношення y-перетину до амплітуди: sin(f) = y0/ymax. Підрахунок кількості петель уздовж кожної осі дає відношення частот безпосередньо.
Типовий гармонограф має два маятники, рух яких поєднується через ручку з папером: один маятник відхиляє перо по x, другий — по y. Деякі конструкції використовують третій «обертальний» маятник. Пристрій набув популярності у вікторіанській Англії: на виставці в Кришталевому палаці 1851 року демонструвався гармонограф, і він став модною науковою іграшкою для ілюстрації хвильової математики.
У фізичному гармонографі коефіцієнт загасання d залежить від опору повітря і тертя в точці підвісу. Для простого маятника в повітрі d приблизно дорівнює b/(2m), де b — лінійний коефіцієнт опору, m — маса. Довші і важчі маятники мають менший d — вони загасають повільніше — тому конструктори гармонографів використовують великі латунні важки. У симуляції d можна задати незалежно для кожної осі.
Коли f1 майже дорівнює f2, але не точно, різниця фаз між маятниками повільно дрейфує, і фігура повільно обертається через усі свої орієнтації. Частота биття — |f1 - f2|, а час одного повного оберту фігури — 1/|f1 - f2|. Це той самий феномен, що й акустичне биття між двома майже налаштованими інструментами, але візуалізований геометрично як повільно обертована фігура Ліссажу.
Ні — криві гармонографа обмежені сімейством виду (A sin(f1*t + f1)*e^(-d1*t), B sin(f2*t + f2)*e^(-d2*t)). Додавання маятників (до чотирьох є поширеним) дозволяє складніші суперпозиції, схожі на ряди Фур'є, але скінченний гармонограф може давати лише скінченні частотні суми. Довільні замкнені криві вимагають нескінченно багатьох компонент — саме цей принцип лежить в основі симулятора «Епіцикли Фур'є».
Відношення частот 1:2 із різницею фаз p/2 дає фігуру-вісімку (подібну до лемніскати). Рух по x здійснює один цикл, тоді як y — два, утворюючи дві петлі. При різниці фаз 0 або p те саме відношення 1:2 дає параболу. Точна форма і орієнтація надзвичайно чутливі до фази, що робить сімейство Ліссажу 1:2 одним із найбагатших для візуального дослідження.