Ряди Фур'є
Будь-яка Periodична функція = сума синусоїдальних гармонік. Спостерігайте, як епіцикли складають хвилю.
🎵 Ряди Фур'є
Жан-Батіст Жозеф Фур'є довів (1822), що будь-яку Periodичну функцію f(x) можна представити як нескінченну суму синусів і косинусів:
f(x) = a₀/2 + Σₙ₌₁ [aₙ cos(nx) + bₙ sin(nx)]
Коефіцієнти знаходять проектуванням: aₙ = (1/π) ∫ f(x) cos(nx) dx bₙ = (1/π) ∫ f(x) sin(nx) dx
Ефект Гіббса: поблизу стрибкоподібних розривів (прямокутна/пилкоподібна хвилі) часткова сума завжди перевищує ідеальне значення приблизно на 8,9% — незалежно від кількості доданків. Це фундаментальна властивість апроксимації Фур'є.
Теорема Парсеваля: повна енергія сигналу дорівнює сумі енергій у кожній гармоніці: (1/π) ∫ |f|² dx = a₀²/2 + Σ (aₙ² + bₙ²)
Діаграма епіциклів (ліворуч) показує кожну гармоніку як обертове плече — так само, як Птоломей описував рух планет накладенням кіл на кола.