z = 0 + 0i
Рендеринг…
Комплексна функція f(z) отримує комплексне число z = x + iy як вхід і повертає інше комплексне число. Оскільки і вхід, і вихід двовимірні, повний графік потребував би чотиривимірного простору — тому математики використовують «доменне розфарбування»: вихідне значення зображується кольором (відтінок кодує аргумент f(z)), а яскравість кодує модуль |f(z)|. Ця техніка, розвинена Франком Фаррісом і популяризована Еліасом Вегертом, виявляє глобальну структуру функції: нулі — темні точки, де сходяться всі відтінки; полюси — яскраві точки зі зворотним обертанням; розрізи — різкі стрибки кольору.
Ви можете ввести будь-який вираз у z (з підтримкою sin, exp, log і арифметики), перміщуватися і масштабувати комплексну площину, а також накладати ізолінії постійного модуля або аргументу. Візуалізатор коректно обробляє багатозначні функції й дозволяє досліджувати структуру аркушів Рімана в інтерактивному режимі.
Що таке доменне розфарбування?
Доменне розфарбування зіставляє кожній точці z комплексної площини колір, визначений значенням f(z). Найпоширеніша угода: відтінок = arg(f(z)) (червоний при 0°, жовтий при 60°, зелений при 120°, блакитний при 180°, синій при 240°, пурпурний при 300°), а яскравість пропорційна log|f(z)|. Це дає характерні «кольорові колеса» навколо кожного нуля й полюса.
Як за графіком розпізнати нуль функції?
Нуль порядку n виглядає як темна точка, навколо якої кольори повного колеса обертаються рівно n разів проти годинникової стрілки. Число намотувань, тобто скільки разів кольорове колесо завершується при обході точки — дорівнює порядку нуля. Простий нуль (n=1) показує один оберт; подвійний (n=2) — два обертів.
Як виглядає полюс у доменному розфарбуванні?
Полюс порядку n виглядає як надяскрава (майже біла) точка, де кольори обертаються за годинниковою стрілкою n разів — на противагу нулю, де обертання йде проти. Поблизу простого полюса модуль прямує до нескінченності, тому яскравість насичується до білого, а один повний обертання кольорів іде у від’ємному (за годинниковою стрілкою) напрямку.
Розріз — лінія в комплексній площині, вздовж якої багатозначна функція (log(z), z^(1/2) тощо) штучно стає однозначною шляхом вибору «головного значення». У доменному розфарбуванні він виявляється різким стрибком відтінку. Стандартний розріз для log(z) пролягає вздовж від’ємної дійсної осі; головне значення аргументу лежить у (−π, π].
Комплексна функція f = u + iv є комплексно диференційовною (голоморфною) у точці тоді й тільки тоді, коли її дійсна й уявна частини задовольняють ∂u/∂x = ∂v/∂y та ∂u/∂y = −∂v/∂x. У доменному розфарбуванні голоморфні ділянки мають гладкі конформно-скруглені патерни; негіломорфні функції (|z|, Re(z)) утворюють «розірвані» кольорові поля, що порушують цю симетрію.
Функція ζ(s) має один полюс при s = 1 (яскрава точка з оберненням за годинниковою стрілкою) і нескінченно багато нулів, що, за гіпотезою Рімана, лежать на критичній прямій Re(s) = 1/2. У доменному розфарбуванні нулі видно як темні точки. Перший нетривіальний нуль знаходиться при s ≈ 0,5 + 14,135i.
Конформне відображення — комплексна функція, що зберігає кути між кривими. Будь-яка голоморфна функція з ненульовою похідною є конформною. Інженери використовують конформні відображення для перетворення задач про обтікання нерегулярних тіл (наприклад, крила літака) до простіших геометрій, де відоме аналітичне розв’язання, яке потім відображається назад.
Основна теорема алгебри стверджує: кожен многочлен степеня n має рівно n комплексних коренів (з урахуванням кратності). У доменному розфарбуванні це означає, що графік будь-якого многочлена степеня n повинен показувати рівно n темних точок (нулів) із протигодинниковим обертанням кольорів — це наочне «підтвердження» теореми для конкретного многочлена.
Функція e𝑧 = eẋ⋅e^(iy) має модуль eẋ (залежить лише від дійсної частини) і аргумент y (залежить лише від уявної). У доменному розфарбуванні горизонтальні смуги однакової яскравості (постійний модуль) йдуть вертикально, а відтінки повторюються кожні 2π по вертикалі (уявна вісь). Функція не має нулів і полюсів у скінченній площині — вона є цілою.
Метод Ньютона для пошуку коренів многочлена zⁿ − c = 0 відносить кожну початкову точку до того кореня, до якого збігається ітерація. Якщо зони сходимості розфарбувати методом доменного розфарбування, отримаємо фрактал Ньютона — хаотичну межу між «басейнами», що є одним із найвражаючих візуальних застосувань теорії комплексних функцій.