🌊 Хаотичні хвилі — нелінійні ланцюжки осциляторів

Ланцюжок з N мас, з'єднаних нелінійними пружинами. У суто гармонійному ланцюжку енергія назавжди залишається в початково збудженій моді (нормальні моди не взаємодіють). Додавання нелінійного (ангармонійного) члена змушує моди обмінюватися енергією, а при сильній нелінійності динаміка стає хаотичною. Це знаменита задача Фермі–Пасти–Улама–Цингу (FPUT) 1953 року. Верхній холст показує переміщення частинок; нижній — спектр потужності нормальних мод.

Модель

Параметри

Нелінійність α/β 0.30 Мода збудження k 1 Початкова амплітуда 0.50 Маси N 32

Управління

Швидкість 4×

Статистика

Час0

Повна енергія—

Енергія моди k—

Макс |x|—

α-FPUT: V = ½x² + ⅓αx³
β-FPUT: V = ½x² + ¼βx⁴
Тода: V = (e^(αx)−αx−1)/α²

Рівняння руху:
mẍᵢ = V′(xᵢ₊₁−xᵢ) − V′(xᵢ−xᵢ₋₁)

Задача FPUT

У 1953 році Фермі, Паста, Улам і Цингу симулювали ланцюжок з 64 частинок із слабкою кубічною нелінійністю. Вони очікували швидкої термалізації енергії по всіх модах, але натомість спостерігали квазіперіодичне повернення: енергія майже повністю повертається до першої моди. Це порушило припущення про швидке рівнорозподілення енергії та спантеличило фізиків на роки. Розв'язання пов'язане з солітонами (Забуський та Краскал, 1965) і теоремою КАМ. При сильній нелінійності рекурентність руйнується і виникають справжній хаос і термалізація.