Навчання #32 – Диференціальні рівняння у фізиці: осцилятори, хаос, ДРЧП і чисельні методи

Диференціальне рівняння пов'язує функцію з її похідними. Розв'язки описують, як фізичні системи еволюціонують: як зростає популяція, як поширюється електричний сигнал, як планета рухається по орбіті, як дифундує тепло, як коливається маятник. Кожна галузь фізики зрештою є сукупністю диференціальних рівнянь і систематичних методів їх розв'язання. Цей допис вибудовує ці методи з перших принципів, завершуючись обговоренням хаотичних систем, де довгострокове передбачення стає неможливим попри повністю детерміновані рівняння.

1. ЗДР першого порядку: спадання, зростання й фазові прямі

ЗДР першого порядку має вигляд dy/dt = f(t, y). Фундаментальні методи його розв'язання залежать від структури f.

Відокремлення змінних

Якщо f(t, y) = g(t) h(y), рівняння відокремлюване і може бути проінтегроване безпосередньо: ∫dy/h(y) = ∫g(t) dt. Класичні приклади: радіоактивний розпад (h(y)=y, g(t)=−λ), що дає y(t)=y₀e^−λt; і логістичне рівняння.

dN/dt = r N (1 − N/K)

N = популяція,  r = питома швидкість зростання,  K = гранична ємність середовища

Точний розв'язок:  N(t) = K / (1 + ((K−N₀)/N₀) e^{−rt})

Нерухомі точки: N* = 0 (нестійка),  N* = K (стійка)
  → визначаються з фазової прямої dN/dt = f(N)

Лінійні ЗДР першого порядку та інтегрувальний множник

Для dy/dt + p(t)y = q(t) помножимо обидві частини на інтегрувальний множник μ(t) = exp(∫p(t) dt), щоб зробити ліву частину точною похідною: d(μy)/dt = μ q(t). Цей прийом застосовується при розрядці послідовного RC-кола, у законі охолодження Ньютона та в рівнянні Ланжевена для броунівського руху.

2. Лінійні ЗДР другого порядку: осцилятори та резонанс

Прототип — демпфований гармонічний осцилятор: m&ddot;x + b˙x + kx = F(t). Однорідний розв'язок (F=0) залежить від дискримінанта характеристичного многочлена mλ² + bλ + k = 0.

m x'' + b x' + k x = F cos(ωt)

ω₀ = √(k/m)     (власна частота)
ζ  = b/(2mω₀)  (коефіцієнт демпфування)

Характеристичні корені: λ = −ζω₀ ± ω₀√(ζ²−1)

Недодемпфований (ζ < 1): x(t) = A e^{−ζω₀t} cos(ω_d t + ϕ)
  ω_d = ω₀ √(1−ζ²)   (демпфована власна частота)

Критично демпфований (ζ = 1): x(t) = (A + Bt) e^{−ω₀t}

Наддемпфований (ζ > 1): x(t) = A e^{λ₁t} + B e^{λ₂t},  λ₁,λ₂ < 0

Добротність:  Q = ω₀/2ζω₀ = 1/(2ζ)
  Q ≫ 1  → резонансна система (дзвін, LC-коло, оптичний резонатор)
  Q ≈ 0.5  → критично демпфований доводчик дверей

Вимушений осцилятор і резонанс

Коли F(t) = F₀cos(ωt), стаціонарний частковий розв'язок має амплітуду:

A(ω) = F₀/m / √((ω₀² − ω²)² + (2ζω₀ω)²)

Максимальна амплітуда при:  ω_res = ω₀ √(1 − 2ζ²)  (для ζ < 1/√2)

Пікова амплітуда:  A_max = F₀/(2mζω₀²√(1−ζ²)) ≈ F₀Q/(mω₀²)  (мале ζ)

Відставання фази:  φ(ω) = arctan(2ζωω₀ / (ω₀² − ω²))
  φ → 0    коли ω → 0  (у фазі з силою)
  φ = π/2 при ω = ω₀  (квадратура при резонансі)
  φ → π    коли ω → ∞  (протифаза 180°)

3. Системи ЗДР та аналіз фазової площини

Багато фізичних систем описуються автономними системами ЗДР: dx/dt = f(x,y), dy/dt = g(x,y). Фазова площина (x,y) візуалізує траєкторії без явного розв'язання рівнянь. Ключовий інструмент — лінеаризація навколо нерухомих точок.

Нерухомі точки (x*, y*): f(x*,y*) = g(x*,y*) = 0

Якобіан у точці (x*,y*):
  J = | ∂f/∂x   ∂f/∂y |
      | ∂g/∂x   ∂g/∂y |

Власні значення λ₁, λ₂ матриці J визначають локальну стійкість:
  Re(λ) < 0 обидва: стійкий вузол/фокус (атрактор)
  Re(λ) > 0 обидва: нестійкий вузол/фокус
  Re(λ) протилежні знаки: сідлова точка (нестійка)
  Re(λ) = 0: центр (нейтральний, потрібен справжній нелінійний аналіз)

Слід τ = λ₁+λ₂ = tr(J),   Визначник Δ = λ₁λ₂ = det(J)
Стійкий вузол:  τ < 0, Δ > 0, τ² > 4Δ
Стійкий фокус: τ < 0, Δ > 0, τ² < 4Δ

Система хижак-жертва Лотки-Вольтерри

dx/dt = αx − βxy, dy/dt = δxy − γy (x = жертва, y = хижак). Дві нерухомі точки: (0,0) (сідло) і (γ/δ, α/β) (центр у нелінійній моделі — замкнені орбіти). Величина, що зберігається: V(x,y) = δx − γln x + βy − αln y.

4. Диференціальні рівняння в частинних похідних: хвиля, теплота й Лаплас

Коли функція залежить і від простору, і від часу (або від кількох просторових координат), її еволюція визначається ДРЧП. Три канонічні лінійні ДРЧП другого порядку відповідають різним фізичним архетипам.

Хвильове рівняння

∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²

Розв'язок Д'Аламбера:  u(x,t) = f(x − ct) + g(x + ct)
  f: хвиля, що біжить праворуч, g: хвиля, що біжить ліворуч
  для u(x,0) = φ(x), u_t(x,0) = ψ(x):
  f(ξ) = [φ(ξ) − Κ(ξ)]/2,  g(ξ) = [φ(ξ) + Κ(ξ)]/2
  де Κ(x) = (1/c) ∫ ψ dx

Стояча хвиля на струні [0,L] з u(0,t)=u(L,t)=0:
  u_n(x,t) = sin(nπx/L) [A_n cos(ω_n t) + B_n sin(ω_n t)]
  ω_n = nπc/L  (частоти нормальних мод)

Рівняння теплопровідності

∂u/∂t = α ∂²u/∂x²       α = коефіцієнт температуропровідності [м²/с]

Розв'язок рядами Фур'є на [0,L] з u(0,t)=u(L,t)=0:
  u(x,t) = ∑_n B_n sin(nπx/L) exp(−α(nπ/L)² t)

B_n = (2/L) ∫₀ᴸ u(x,0) sin(nπx/L) dx

Характерна довжина дифузії:  ℓ ≈ √(αt)
  Температуропровідність: Cu ≈ 1.17×10⁻⁴ м²/с, Si ≈ 8×10⁻⁵ м²/с

Рівняння Лапласа

∇²u = 0 керує електростатичним потенціалом у вільному просторі, стаціонарними розподілами температури, нестисливою безвихровою течією рідини та комплексно-аналітичними функціями. Розв'язки (гармонічні функції) задовольняють властивість середнього значення й не мають локальних екстремумів усередині області визначення. Розділення змінних у декартових, полярних і сферичних координатах дає сімейства розв'язків (поліноми Лежандра, сферичні гармоніки), які лежать в основі мультипольних розкладів в електростатиці та теорії гравітації.

5. Чисельні методи: Ейлер і Рунге-Кутта

Більшість ЗДР, що зустрічаються на практиці, не можна розв'язати аналітично. Методи чисельного інтегрування дискретизують час і просувають розв'язок крок за кроком. Ключовий компроміс — між точністю (локальною похибкою усічення) і обчислювальною вартістю.

Дано dy/dt = f(t,y),  крок h,  поточне (t_n, y_n):

k₁ = f(t_n,          y_n)
k₂ = f(t_n + h/2,   y_n + h k₁/2)
k₃ = f(t_n + h/2,   y_n + h k₂/2)
k₄ = f(t_n + h,     y_n + h k₃)

y_{n+1} = y_n + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Локальна похибка усічення: O(h⁵)   Глобальна похибка: O(h⁴)

Порівняння:
  Ейлер:            ЛПУ O(h²), ГП O(h)   [1 обчислення f/крок]
  Трапеції:         ЛПУ O(h³), ГП O(h²)  [2 обчислення f/крок]
  RK4:              ЛПУ O(h⁵), ГП O(h⁴)  [4 обчислення f/крок]
  Дорманд-Прінс RK45: адаптивний, використовується в scipy.integrate.solve_ivp

Жорсткі ЗДР (де одні часові масштаби набагато швидші за інші) вимагають неявних методів (наприклад, зворотного Ейлера, Кранка-Ніколсон) або неявного методу Рунге-Кутти, щоб уникнути потреби в надзвичайно малих кроках. Класичний приклад жорсткої системи — осцилятор Ван дер Поля з великим параметром демпфування μ.

6. Хаос і нелінійна динаміка

Детермінований хаос — це не випадковість — рівняння точні й цілком детерміновані. Систему робить хаотичною чутлива залежність від початкових умов: близькі траєкторії розходяться експоненційно швидко, роблячи довгострокове передбачення практично неможливим, хоча воно й можливе в принципі.

dx/dt = σ(y − x)         σ = 10
dy/dt = x(ρ − z) − y   ρ = 28
dz/dt = xy − βz          β = 8/3

Максимальний показник Ляпунова λ₁ ≈ +0.906 (додатний ⇒ хаотична)
  ⇒ розходження: |Δ(t)| ~ |Δ(0)| e^{λ₁ t}
  Горизонт передбачуваності: T ≈ ln(Δ_max/|Δ(0)|) / λ₁
  При |Δ(0)|=10⁻10, Δ_max=1: T ≈ 23/0.906 ≈ 25 одиниць часу Лоренца

Розмірність атрактора (Каплана-Йорке): D_KY ≈ 2.06

Біфуркаційні діаграми та стала Фейгенбаума

Коли керувальний параметр змінюється, нелінійна система може зазнавати раптових якісних змін поведінки (біфуркацій). Логістичне відображення x_n+1 = r x_n(1−x_n) демонструє каскад подвоєння періоду в міру зростання r від 3 до 4: стійка нерухома точка → цикл періоду 2 → період 4 → … → хаос при r≈3.57. Відношення послідовних біфуркаційних інтервалів збігається до сталої Фейгенбаума δ ≈ 4.6692… — універсальної для всіх одновимірних відображень із квадратичним максимумом (універсальність подвоєння періоду).

Диференціальні рівняння як фізична інтуїція

Прогресія в цьому дописі — від відокремлення змінних до інтегрування RK4 і до атрактора Лоренца — віддзеркалює історичний розвиток динаміки протягом трьох століть. Другий закон Ньютона започаткував програму запису фізики як диференціальних рівнянь. Рівняння теплопровідності Фур'є та розвиток спектральних методів розширили її на розподілені системи. Геометричний підхід Пуанкаре до диференціальних рівнянь (1880-ті) увів фазові площини, нерухомі точки та перші проблиски хаотичної поведінки.

Інтерактивні симуляції дозволяють регулювати демпфування й частоту вимушення, щоб простежити резонансну криву гармонічного осцилятора в реальному часі, спостерігати граничний цикл хижак-жертва у фазовому просторі та побачити чутливу залежність атрактора Лоренца від початкових умов, запустивши дві майже ідентичні траєкторії й спостерігаючи, як вони розходяться. Це не просто обчислювальні вправи; це ті самі фізичні явища, з якими щодня стикаються інженери, біологи, кліматологи та фізики.