Волове-Відвинне Випасництво: Цикли Лотка-Вольтерра в сітці

Хижак, здоби та ділянка трави

Хижацтво овець і вовків є класичним агент-орієнтованим аналогом рівнянь Лотка–Вольтера: замість відстеження двох гладких чисельних значень популяцій тисячі окремих овець та вовків рухаються по сітці, їдять, розмножуються та вмирають відповідно до невеликої кількості локальних правил, і цикли популяції виникають з цих індивідуальних взаємодій, а не записуються безпосередньо у модель. Овечки блукають по сітці, їдячи траву (яка відростає з затримкою), отримуючи енергію з кожного укусу; вовки блукають і їдять овець; кожен агент втрачає енергію за кожний такт і розмножується, коли досягнуто певного рівня енергії, вмираючи, якщо його енергія доходить до нуля.

Чому бумі слідують за спадами

Коли овець багато, вовків добре жити стало, вони швидко отримують енергію та розмножуються швидше, ніж помирають — популяція вовків зростає. Але більше вовків означає більший тиск на добування овець, тому популяція овець падає. Менше овець означає менше їжі для волків, тому вовки починають голодувати та вмирати швидше, ніж вони можуть розмножуватися — популяція волків падає у свою чергу. З меншою кількістю волків тиск на добування овець зменшується і населення овець, що харчуються травою, відновлюється, і весь цикл повторюється. Це точно колискульний цикл з фазами, який вивів аналітично в 1920-х роках Альфред Лотка та Віто Вольтерра:

dS/dt = a·S − b·S·W (овець: зростання — добування) DW/dt = c·S·W − d·W (волків: добування-харчування зростання — смерть) S = овечі, W = вовків, a,b,c,d > 0 піки в W відстають від піків в S на чверть циклу Просторова, індивідуальна версія відтворює цю якісну закономірність — піки овець, потім затриманий пік волків, а потім крах обох — але додає ефекти, яких не можуть передбачити гладкі рівняння: локальне виснаження (ділянка трави або овець може бути знищена в одній області, тоді як процвітає в іншій), стохастичне зникнення, коли популяція стає такою маленькою, що випадковість завершує її, і просторові укриття, де здобич рятується від хижаків просто за допомогою відстані.

dS/dt =  a·S − b·S·W     (sheep: growth − predation)
dW/dt =  c·S·W − d·W     (wolves: predation-fed growth − death)

S = sheep, W = wolves, a,b,c,d > 0
peaks in W trail peaks in S by a quarter-cycle

Трава як третя прихована вид

Через те, що трава відновлюється за фіксованим таймером замість того, щоб бути нескінченною, вона поводиться як третинний трофічний рівень і додає свій власний затримку до циклу: може статися, що бум овець перевищить швидкість відновлення трави, що призведе до колапсу овець через голод, навіть без додаткових вовків, що не показує динамічну чистоту двох видів Lotka–Volterra. Моделі з цим додатковим шаром ближче до реальних систем хижак-загиблий-рослини, таких як добре задокументований цикл білогопераного зайця та лисиці, ніж ідеалізована дворівнева версія.

Виникнення та межі локальних правил

Жоден агент у симуляції не знає про «цикли популяцій» — кожен з них лише запитує, чи є поруч їжа і чи достатньо енергії для розмноження. Циклічний спад і підйом, а також кінцева загроза вимирання, якщо параметри налаштовані неправильно (вовки надто ефективні, відновлення трави занадто повільне), є емерджентними властивостями багатьох локальних взаємодій, що й пояснює використання агентно-орієнтованих моделей у екології, епідеміології та економіці, коли цікава поведінка виникає через неоднорідність і локальність, які б було втрачено в одній середній формулі.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Wolf-Sheep Predation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.