Діффінговський осцилятор: Коли пружина стає хаотичною

Весна, яка відмовляється бути лінійною

Ідеальна пружина дотримується закону Гука, де сила пропорційна зміщенню, а її рівняння руху – проста синусоїда, що триває вічно. У 1918 році Георг Дуфінг додав до цієї пружини кубічний жорсткість, коефіцієнт тертя та періодне зовнішнє збудження, у результаті чого отримано обманливо просте рівняння, яке може генерувати все – від простих коливань до повного хаосу – залежно лише від амплітуди збудження:

ẍ + δẋ + αx + βx³ = γ·cos(ωt)

δ = damping,  α = linear stiffness,  β = cubic (nonlinear) stiffness
γ = drive amplitude,  ω = drive frequency

Звуження, пом’якшення та складена резонансна крива

Якщо β > 0 пружина стає жорсткішою при подальшому розтягуванні (звуження пружини); якщо β < 0 вона стає м’якшою (пом’якшення). Це само по собі змушує класичний пік резонансу лінійного осцилятора згинатися вправо, утворюючи нахилену криву, і за крититного значення амплітуди керування ця крива може перевернутися. У складеній області математично обґрунтованими рішеннями для однієї й тієї ж частоти стають три різні амплітуди коливань – система стає бістабільною, різко перескакуючи між малими та великими амплітудами відповіді при повільному зсуві частоти вгору або вниз, створюючи петлю історії, яку ніколи не може створити лінійна пружина.

Від періодичного до хаотичного при зростанні навантаження

Для малих γ осцилятор переходить у просту періодичну рух на частоті навантаження. Збільшуючи γ, відповідь може перейти до періоду подвоєння — цикл повторюється лише кожні два періоди навантаження, потім чотири, потім вісім — це каскад періоду подвоєння, який є одним із найпоширеніших шляхів до хаосу в нелінійних системах загалом, не тільки в цій.

Поза накопичувальним вузлом цієї каскади рух стає неперіодичним: обмеженим, детермінованим, але ніколи не повторюється, прокладаючи дивний атрактор у фазовому просторі з тією ж структурою розтягування та складання, як і в системі Лорренца, незважаючи на те, що вона походить із зовсім іншої фізичної конфігурації.

Пойя́срі секція: перетворення сплутаного в точки

Побудова діаграми положення проти швидкості безпосередньо дає щільний, важкочитаний вузол, коли рух хаотичний. Стандартна техніка – використання Пойя́срі секції: замість відстежування кожного моменту часу, зразок стану один раз на період стимулювання (скорочено, в одній фазі cos(ωt) кожен раз). Періодичний орбіта спочатку стискається до одного пункти або невеликої кількості точок; орбіта з подвоєним періодом показує дві, чотири або вісім точок; а хаотичний рух проявляється як складна, самоподібна розсипка точок – фрактальне перерізне підлеглого дивного притяжного гравітатора, яке видно з першого погляду замість того, щоб бути захованим у заплутаній траєкторії.

Чому рівняння 1918 року все ще має значення

Рівняння Дуффінга є одним із найпростіших моделей, що містить твердіння/м’яке твердіння, змушену резонансність, гістерезис та повний шлях до хаосу в одній лінійці, тому воно залишається стандартним підручним посібником і технічним випробувальним випадком для нелінійних коливань — від MEMS-резонаторів і конструкційних балок, які руйнуються під навантаженням, до електричних аналогів схем, історично використаних для вивчення хаосу до появи дешевих комп’ютерів, що полегшили чисельне інтегрування.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Duffing Oscillator і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.