Поширення вірусів у контактній мережі: Чому вузли мають більше значення ніж R0

З відсіків до графа

Класична модель SIR — Сприйнятливі → Інфіковані → Одужені — припускає добре змішане населення: кожен сприйнятливий людина однаково ймовірно зустрічається з кожною інфікованою, тому вся епідемія відображається двома числами, коефіцієнтом передачі бета та коефіцієнтом одужнення гамма. Це припущення є зручним вигадом. Реальні люди не змішуються рівномірно; у них є фіксований, грубий набір контактів — сім'я, робоче місце, кілька друзів, і ця структура є графом: люди є вузлами, контакти — ребрами, а епідемія поширюється лише вздовж ребер, які існують.

Запуск SIR у мережі замість моделі відсіків не просто додає реалізму заради реалізму — це змінює якісний результат. Дві популяції з однаковим середнім числом контактів можуть мати зовсім різні розміри спалахів, оскільки те, що має значення, не є середнім ступенем зв’язку, а форма розподілу ступеня: як нерівномірно розповсюджуються зв'язки між людьми.

Правила та поріг, що залежить від варіації степеня

На кожному кроці часу кожен інфікований вузол передає вздовж кожного з своїх ребер до схильного сусіда з ймовірністю, пов’язаною з бета, та одужує з ймовірністю гамма. Це вся модель – жодних диференціальних рівнянь не потрібно, лише граф і два кидки монети на кожне ребро на крок:

для кожного інфікованого вузла i: для кожного сусіда j вузла i: якщо j схильний та випадкове число менше бета: j стає інфікованим якщо випадкове число менше гамма: i стає одуженим (видаляється з інфекційного пулу) У добре змішаному населенні епідемічний поріг – це знайоме R0 = бета/гамма > 1. На мережі, правильний поріг, отриманий із моделі конфігурації, є R0 = бета / (гамма), де - середнє значення квадрату ступеня та - середній ступінь.

for each infected node i:
  for each neighbour j of i:
    if j is susceptible and random() < beta:
      j becomes infected
  if random() < gamma:
    i becomes recovered (removed from the infectious pool)

Hubs, and the friendship paradox

There's a neat statistical reason hubs dominate outbreaks even before you account for their raw contact count: the friendship paradox. On average, your friends have more friends than you do — a consequence of size-biased sampling, since high-degree nodes appear in many people’s contact lists simply by virtue of having many contacts. Pick a random edge in the network and follow it, and you land on a higher-than-average-degree node more often than chance would suggest.

For an epidemic this means infection doesn't spread uniformly outward — it disproportionately reaches hubs early, and once a hub is infected it re-transmits to dozens of neighbours at once. This is exactly why targeted immunization of high-degree nodes is so much more efficient at stopping an outbreak than immunizing a random fraction of the population: removing a handful of hubs can collapse <k²> and push a network back below threshold.

Випадковий, малий світ та масштаб - три режими

Симуляція на цій сторінці дозволяє перемикатися між трьома класичними мережевими моделями, і кожна з них генерує помітно різну криву епідемії. Випадкова графа Ердоша-Ренеші має розподіл степенів за законом Пуассона — більшість вузлів мають ступінь близько середнього значення, мало екстремальних центрів — тому її мережево-коригований поріг близький до класичного бета/гамма одного. Мережа Ватса–Стромгаза починається як кільцевий латок і випадково перепідключає кілька ребер, що змушує зменшити довжину шляху між віддаленими вузлами (відоме "шість градусів") без значного впливу на розподіл степенів, тому спалахи швидко досягають усього населення, але поріг залишається схожим на випадковий випадок.

Мережа Барабаші–Альберта з масштабом є цікавим випадком: нові вузли переважно приєднуються до вже популярних («багатні стають ще багатшими»), що створює розподіл степенів за законом потужності з важким хвостом центрів. Пастор-Саторрас і Веспіньяні у 2001 році показали, що для показника степеня між 2 та 3 — діапазон, найбільш цитований реальних контактних та соціальних мереж — другий момент <k²> збігається зі збільшенням мережі, що призводить до поріг епідемії до нуля. У ідеальному нескінченному обсязі, практично будь-яка ненульова швидкість передачі може підтримувати спалах; у кінцевих реальних мережах виживає низький позитивний поріг, але він значно нижчий за оцінку випадкової графа такого самого середнього значення степенів.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Viral Network Spread і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.