Спіраль Уламa: Прості числа ховаються у діагоналях

A doodle that became a discovery

In 1963, mathematician Stanislaw Ulam was reportedly sitting through a long, uninteresting presentation and began doodling: he wrote the integers 1, 2, 3… in a square spiral starting at the centre, and circled every prime as he went. What should have been a scatter of dots turned out to fall along diagonal lines far more often than chance would suggest. He and colleagues Myron Stein and Mark Wells plotted a much larger version by computer soon after, and the pattern held: even out to hundreds of thousands of integers, primes visibly cluster along certain diagonals and avoid others.

Building the spiral

The construction is entirely mechanical: place 1 at the centre of a grid, then walk outward in a square spiral — right, up, left, left, down, down, right, right, right… — placing each successive integer on the next cell. Every straight segment of the spiral of a fixed direction corresponds to the values of a specific quadratic polynomial in the step count, because the spiral's arm lengths grow by exactly one cell every half-turn. That is the algebraic seed of the whole pattern: the numbers running along any diagonal of the spiral are literally the outputs of some polynomial 4n² + bn + c for fixed integers b and c, evaluated at consecutive n.

Чому деякі діагоналі настільки багатші на прості числа

Не всі квадратичні функції генерують простих чисел однаково часто. Класичний приклад, виявлений Ойлером у 1772 році, є:

f(n) = n² + n + 41 f(0)=41 f(1)=43 f(2)=47 f(3)=53 … всі вони прості для кожного цілого числа n від 0 до 39 — 40 послідовних простих значень. Воно зрештою не витримує – f(40) = 41², очевидно складно, але потік 40 простих чисел поспіль набагато довше, ніж би дав «випадковий» квадратичний функція. Причина – це арифметика, а не магія: для заданого малого простого числа p порахуйте, скільки залишків n mod p роблять f(n) ділимим на p. Квадратична функція, така як n² + n + 41, має надзвичайно низьку кількість таких «поганих» залишків для багатьох невеликих простих чисел p, що означає, що менша частина її значень автоматично виключена як складна за допомогою ділення на прості числа, тому більша частка її значень виживає як прості значення протягом будь-якого заданого проміжку.

f(n) = n² + n + 41

f(0)=41  f(1)=43  f(2)=47  f(3)=53 … all prime for every
integer n from 0 to 39 — 40 consecutive prime values.

Hardy-Littlewood conjecture F

This intuition was made precise by G. H. Hardy and John Littlewood's 1923 conjecture F, which predicts the asymptotic density of primes among the values of a quadratic an² + bn + c in terms of a product over primes p measuring exactly this residue-avoidance effect. Diagonals of the Ulam spiral corresponding to polynomials with a high Hardy-Littlewood constant are predicted — and observed — to be visibly denser in primes than diagonals with a low constant, which is precisely the striped pattern the spiral makes visible to the eye. The conjecture remains formally unproven, but it matches empirical prime counts extremely closely.

Ulam Spiral: A More Refined Approach

The Ulam spiral, popularized by mathematician Edward Holloway in 1968, is a visual representation of prime numbers. It's constructed using a square grid, where each number is placed at the center of its corresponding side length.

Initially, the spiral begins with the number 1 at the center. Then, consecutive prime numbers are added to this central point, creating outward spirals. The distance from the center to each number corresponds to the square root of that number.

This arrangement highlights the distribution of primes – prime numbers tend to cluster around certain points in the spiral, while others remain sparse. The spiral's visual appeal lies in its ability to reveal patterns within the seemingly random placement of prime numbers.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Ulam Spiral і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.