Рівняння Циолковського: Чому Ракети Мають Стадії

Рівняння Ціолковського: що визначає досягнення ракетою орбіти

Кожна продуктивність ракети обмежується одним рівнянням, розробленим Костянтином Ціолковським у 1903 році на основі третього закону Ньютона для тіла, яке безперервно викидає масу: рівняння Цiolковського про ракету. Воно стверджує, що максимальна зміна швидкості, яку може досягти ракета, залежить лише від двох речей — швидкості виходу вихлопних газів з сопла та частки її загальної маси, яка є паливом:

Δv = v_e * ln(m0 / mf) v_e = ефективна швидкість вихлопу (пов'язана зі специфічною спальністю: v_e = Isp * g0) m0 = початкова (мокша) маса, включаючи паливо mf = кінцева (суха) маса після згоряння палива Логарифм у цій формулі є найскладнішим аспектом. Оскільки Δv зростає лише логарифмічно з відношенням мас m0/mf, кожен додатковий одиницю Δv стає все дорожчим: подвоєння бюджету Δv не просто подвоює кількість палива, воно вимагає квадратичного збільшення відношення мас для одноступінчастої ракети, що швидко призводить до необхідності перенесення маси резервуарів та конструкцій більшої користі, ніж корисна вантажна партія — відомий «тиран ракетного рівняння».

Δv  =  v_e · ln(m0 / mf)

v_e = effective exhaust velocity (related to specific impulse: v_e = Isp · g0)
m0  = initial (wet) mass, including propellant
mf  = final (dry) mass, after the propellant is burned

Чому стадіону краще, ніж один великий ракетний двигун

Стадіон безпосередньо вирішує цю проблему: коли пропіпальне паливо одного етапу вичерпано, його тепер порожні баки та двигун є найважчим непотрібним вантажем, який несе ракета, тому ракета викидає їх повністю замість того, щоб продовжувати прискорювати цю масу в космос. Кожен етап застосовує рівняння Ціолковського до меншого m0, яке більше не включає відкинуту структуру, таким чином загальний місійний Δv просто сума Δвибухів кожного етапу:

Δv_total = Δv_stage1 + Δv_stage2 = v_e1 * ln(m0_1/mf_1) + v_e2 * ln(m0_2/mf_2) # mf1 для другого етапу вже виключає вагу сухого першого етапу, # тому другому етапу не потрібно примусово нести порожні баки першого етапу в космос. Зазвичай два стадії, які добре підібрані, можуть доставити певне навантаження в космос з набагато меншою загальною масою запуску, ніж одна стадія, яка намагається досягти тієї ж Δv, оскільки ні одна з етапів ніколи не змушена прискорювати структуру іншого етапу. На практиці цей компроміс має зменшувальний ефект — три або чотири стадії допомагають ще більше, але кожен додатковий етап відокремлення збільшує механічну складність, вагу обладнання для відокремлення та новий режим відмови, тому більшість орбітальних ракет вирішують використовувати два або три стадії замість того, щоб прагнути до більш тонкого стадіону.

Δv_total = Δv_stage1 + Δv_stage2
             = v_e1 · ln(m0_1/mf_1) + v_e2 · ln(m0_2/mf_2)

# stage 2's mf1 already excludes stage 1's discarded dry mass,
# so stage 2 is not forced to carry stage 1's empty tanks to orbit

Чому етапи використовують різні двигуни

Нижні етапи спалюються в товстому атмосферному шарі, де навколишній тиск чинить опір вихлопній пламени, тому їх сопла мають форму для продуктивності на рівні моря, а двигуни віддають перевагу високому тяговому з’єднанню, щоб боротися як із гравітацією, так і з опором під час повільного, важкого підйому з естакади. Верхні етапи запалюються в майже вакуумі, де можна використовувати значно ширше та довше сопло для розширення вихлопного потоку перед його виходом, отримуючи більше тяги на тій самій кількості палива — тому двигуни верхнього ступеня зазвичай мають помітно більший дзвін сопла та помітну конкретну імпульс порівняно з двигунами нижнього ступеня, навіть спалюючи ті ж саме паливо.

Гравітальні втрати, опір та причини вигину траєкторії запуску

Діла-В (delta-v), яку ракета фактично потребує для досягнення орбіти, значно перевищує власну орбітальну швидкість (близько 7,8 км/с для низької навколоземної орбіти), через гравітаційні втрати — діла-В, витрачена на боротьбу з гравітацією під час руху переважно вертикально, а не на здобуття горизонтальної орбітальної швидкості — та опір від атмосферного опору протягом перших кількох хвилин. Таким чином, реальний профіль запуску виконує градієнтно-овертовий поворот (гравітаційний вигин): поступово нахиляючи ракету після старту так, щоб тяга ракети все більше спрямовувалася у напрямку її руху, а не прямо вгору, мінімізуючи час боротьби з гравітацією без витрачання палива. Саме тому ракети помітно вигибаються, а не піднімаються прямо вгору перед тим, як повернути.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Two-Stage Rocket і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.