Тесеракт: Чому 4-вимірний Куб Має Шіснадцять Способів Обертання

Квадрат у квадраті: побудова тесеракта за аналогією

Тесерракт (також відомий як 8-мірна або гіперкуб) є чотиривимірною аналогом куба, побудований так само, як і куб, збудований із квадратів. Точка, витягнута вздовж нової осі, простягає лінійний сегмент; лінійний сегмент, витягнутий перпендикулярно до осі, простягає квадрат; квадрат, витягнутий перпендикулярно до себе, простягає куб; і куб, витягнутий вздовж четвертої, взаємоперпендикулярної осі, простягає тесеракт. Кожен крок додає одну вимірність і подвоює кількість вершин, тому закономірність кількості вершин — 2, 4, 8, 16 — є просто степом 2 від виміру.

вимір вершини ребра грані клітин 0 (точка) 1 - - - 1 (лінія) 2 1 - - 2 (квадрат) 4 4 1 - - 3 (куб) 8 12 6 1 - 4 (тесеракт) 16 32 24 8 Тесеракт має 16 вершин (будь-яка комбінація ±1 у чотирьох координатах), 32 ребра, 24 квадратні грані та 8 кубічних клітин — куб буквально є однією з восьми його обмежуючих клітин, з ідентичним кубом безпосередньо «навпроти» четвертої виміру, а ще шість кубів зшивають ці два разом, чотиривимірний еквівалент шести квадратних граней, які з'єднують протилежні грані куба разом.

dimension   vertices   edges   faces   cells
0 (point)   1          -       -       -
1 (line)    2          1       -       -
2 (square)  4          4       1       -
3 (cube)    8          12      6       1
4 (tesseract) 16       32      24      8

Шість площин обертання, а не три осі

У 3D обертання відбувається навколо осі — сама вісь залишається незмінною, а все інше повертається навколо неї. Це пояснення перестає працювати у 4D, оскільки одна вимірна вісь залишає незмінним 3D підпростір замість того, щоб обертати 2D площину, що не правильно узагальнює обертання. Правильне узагальнення полягає в тому, що обертання відбувається всередині площини — дві координати, що простягають цю площину, обертаються одна в одну, а всі інші залишаються незмінними. Куб може обертатися лише в трьох координатних площинах XY, XZ та YZ. Тессерактив, з чотирма координатами (x, y, z, w), має шість незалежних координатних площин для обертання: XY, XZ, XW, YZ, YW і ZW — кількість відповідає C(4,2) = 6, кількості способів вибрати 2 осі з 4.

Обертання в трьох площинах, які не включають w — XY, XZ, YZ — виглядають як звичайні 3D обертання і не впливають на координату w. Три площини, які включають w — XW, YW, ZW — справді нові: вони повертають частину фігури в і з четвертого виміру, що є точною мовою руху, завдяки якому проєкції обертового тессерактиву виглядають такими незвичними, з кубами, які здаються більшими, меншими та пронизуючими один одного.

Чому проекція здається, що вона повертається всередину

Трансформацію тесеракта можна показати на 2D-екрані лише шляхом його двократної проєкції з 4D до 3D і потім з 3D до 2D, так само, як тінь каркасного куба є 2D-проєкцією 3D-об'єкта. Під час обертання, що включає в себе трансформацію, вершини, які знаходяться далеко від спостерігача у четвертому вимірі, проектуються меншими (за допомогою перспективної проєкції), а вершини, які наближаються до спостерігача, проектуються більшими, тому внутрішні та зовнішні куби класичної тесерактів каркасної малюнку здаються місцями обмінюються, проходять через один одного і повертаються всередину – це оптичний наслідок проєкції, а не доказ того, що форма буквально деформується.

Розрізи: нарізка замість проекції

Альтернативний спосіб візуалізації 4-вимірного об'єкта полягає у виконанні 3D нарізки — нарізання, а не проекції, так само як і 3D нарізка (наприклад, зріз КТ) має відношення до повного об’єкту.

Нарізка обертається тессеракт з фіксованою 3D гіперплощиною виробляє послідовність звичайних 3D твердих тіл, які ростуть, стискаються та змінюють форму, коли положення нарізальної площини в четвертому вимірі ефективно змінюється разом із обертанням — зовсім інший і часто більш інтуїтивний спосіб побудови геометричного інтуїтивного розуміння 4-вимірних геометрій, ніж спостереження тіні.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Tesseract і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.