Симметрії: 17 Способів Викладати Візерунок на Стіні (Symmetry Groups: The 17 Ways to Tile a Wall)

Чотири нерухомі переміщення, одна граматика

Ваза з візерунком — це дизайн, який повторюється в двох незалежних напрямках площини, повністю покриваючи її без пропусків. За кожним таким візерунком стоїть група симетрії: повний набір нерухомих переміщень — рухів, які зберігають відстані — що саме переносят малюнок на себе. Існує лише чотири види нерухомих переміщень у площині: переклад (зсув), обертання (поворот навколо точки), віддзеркалення (перевертання через лінію) та злиття з віддзеркаленням (віддзеркалення, поєднане зі зсувом вздовж дзеркальної лінії). Симетрія кожного візерунка побудована на деякому підмножині цих чотирьох, і математики довели, що їх існує рівно 17 різних способів комбінування для періодичного облицювання всієї площини.

Найпростіша група, яка називається p1, використовує лише два незалежних перекладу — зсуньте малюнок вздовж двох напрямків і повторіть, ніякого обертання або віддзеркалення ніде. На іншому кінці знаходиться p6m, який укладає 6-кратне обертання поверх шести дзеркальних ліній через кожну точку обертання, симетрія ідеального сотні.

Чому лише обертання 2, 3, 4 та 6 разів

Єдиний факт, який визначає кількість груп шпалер на кінцевий список, це теорема про кристалічну обмеженість: будь-яке обертання, яке є симетрією періодичної решітки, має порядок 1, 2, 3, 4 або 6. Порядок 5 заборонений, а будь-який інший порядок вище 6 також заборонений. Доказ — це короткий аргумент від суперечності: припустимо, що існує центр 5-кратного обертання в решітці, складіть його з копією, перекладеною до сусідньої решітки, і результатом є переклад, що строго менший за найкоротшу вектор решітки, що неможливо в дискретній решітці. Той самий аргумент знищує будь-який порядок вище 6, крім тих, що зменшуються до 2, 3, 4 або 6.

дозволені порядки обертання у періодичному планувальному укладанні: 1 2 3 4 6 заборонені: 5 7 8 9 ... чому: 5-кратний центр змушує вектор решітки коротшим за найкоротший, який вже є в решітці — суперечність Це саме тому, що ви можете укласти підлогу квадратами (4-кратна), трикутниками (3-кратна та 6-кратна) або гексагонами (6-кратна), але ніколи не регулярними пірамідами самостійно. 5-кратна симетрія не заборонена в природі чи мистецтві загалом — вона постійно зустрічається у квітах і морських зірках, а Penrose tiling досягає певного виду 5-кратної симетрії за допомогою двох форм плиток у неперіодичному розташуванні — але її заборонено конкретно в патернах, які повторюються з єдиним перекладним періодом, що є визначенням групи шпалер.

allowed rotation orders in a periodic plane tiling:  1  2  3  4  6
forbidden:                                            5  7  8  9 ...

why: a 5-fold center forces a lattice vector shorter than
the shortest one already in the lattice -- contradiction

Називання 17

Стандартні назви – p1, p2, pm, pg, cm, pmm, pmg, pgg, cmm, p4, p4m, p4g, p3, p3m1, p31m, p6, p6m – відповідають кристалографічній нотації. Буква p або c позначає простий або центрований решітковий елемент; цифра відображає найвищий порядок обертання, присутній. m позначає площину дзеркала, g – зсувне відбиття без дзеркала. Читаючи назву назад, ви дізнаєтеся про повний симетрійний вміст візерунка:

p1 лише переміщення p2 переміщення + обертання на 2-кратність, відсутнє дзеркальне відображення pm переміщення + площини дзеркала, відсутнє обертання pg переміщення + зсувне відбиття лише, відсутня площина дзеркала cm площини дзеркала + зсувні відбиття на центрованій решітці p4 обертання на 4-кратність, відсутнє дзеркальне відображення p4m обертання на 4-кратність + площини дзеркала через кожен центр обертання p6m обертання на 6-кратність + площини дзеркала – гоменовидна симетрія Асиметричний мотив — прапор, кому, відбиток ноги — є стандартним тестом для візуального визначення групи: оскільки він не має власної симетрії, кожна його копія в покритті показує, яке саме операцію було використано для його розміщення. Повторювана кому без перевертань ніде означає p1 або p2; кому, що чергується з її дзеркальним відображенням по рядку, сигналізує про зсувне відбиття.

p1    translation only
p2    translation + 2-fold rotation, no reflection
pm    translation + mirror lines, no rotation
pg    translation + glide reflection only, no mirror
cm    mirror lines + glide reflections on a centered lattice
p4    4-fold rotation, no reflection
p4m   4-fold rotation + mirrors through every rotation center
p6m   6-fold rotation + mirrors -- the honeycomb symmetry

Ісламські мозаїки, кристали та Ешер

Ісламські геометричні художники, які працювали за століття до існування групової класифікації, створили мозаїки, що реалізують усі 17 груп візерунків на стінах — факт, виявлений пізніше математиками, які аналізували виживальні плитки з Альгамбри та інших місць. Однак ці 17 патернів також класифікують симетрію двовимірних кристалічних структур у матеріалознавстві, де основна атомна структура, а не художній мотив, повторюється.

М. Ешер спеціально вивчав мозаїки Альгамбри під час візиту в 1936 році та використовував конструкції на основі груп візерунків, зокрема злітання, як математичну основу для своїх переплічених тваринних візерунків — птахів, риб і ящірок є асиметричними мотивами, що прикрашають підлеглу p4g або pgg структуру, у точному сенсі, описаному вище.

Зведення вручну

Щоб генерувати будь-яку групу шпалер програматично, почніть з асиметричної фундаментальної мотиви, застосуйте генератори обертання та віддзеркалення групи, щоб отримати невеликий кластер, потім перекладіть цей кластер вздовж двох решічних векторів, щоб заповнити площину. Сам вигляд решітки обмежений порядком обертання — 4-кратна точка сили змушує використовувати квадратну решітку, 3-кратна або 6-кратна точка сили - шестигранну, тоді як групи лише з 1-кратною або 2-кратною точкою сили є вільними для використання загальної паралелограмної решітки. Якщо ви неправильно визначите форму решітки для порядку обертання, укладання не закриється без прогалин чи перетинів, що є корисним самоперевіркою при реалізації цього шаблону з нуля.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Symmetry Groups and Wallpaper Patterns і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.