Сферична тригонометрія: Трикутники на вигнутому світі

Сферичні лінії та трикутники

На плоскому плані найкоротший шлях між двома точками – пряма, а будь-які три непаралельні точки утворюють трикутник, кути якого сумуються рівно 180 градусам. На поверхні сфери немає прямих ліній у цьому сенсі — кожен малюваний вами шлях викривлений разом із поверхнею. Роль «прямої лінії» замінює великий круг: перетин сфери з площиною, що проходить через її центр. Екватор є великим кругом; лінія широти на 45 градусах не є, оскільки її площина не проходить через центр.

Три точки на сфері, з’єднані трьома великими-круговими дугами, утворюють сферичний трикутник. Його сторони вимірюються не в метрах, а в кутових одиницях — кут, на якому кожна дуга ухиляється від центру сфери — і його внутрішні кути є кутами між напрямками касареній дуг, де вони зустрічаються. Це одне лише перетворення контексту майже повністю переписує всі формули з планарної тригонометрії.

Сферична закони об cosines

Враховуючи дві сторони a та b сферичного трикутника та кут C між ними, третю сторону c визначають не шляхом віднімання перехідного члена, як у плоскому законі об cosines, а за допомогою співвідношення, побудованого повністю на основі синусів і косинусів кутів:

cos(c) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(C) da, b, c є довжинами дуг, вираженими як кути (радіани або градуси) C - кут у вершині протилежної сторони c Існує також закон синусів, структурно подібний до плоского, але з боками замінено їхніми синусами: sin(A)/sin(a) дорівнює sin(B)/sin(b) дорівнює sin(C)/sin(c). І є подвійний закон об cosines для кутів, унікальний для сферичної геометрії, який дозволяє відновити сторону лише з трьох кутів трикутника — що неможливо на плоскій поверхні, де кути само по собі ніколи не визначають масштаб. На сфері це можливо, оскільки радіус сфери забезпечує відсутній масштаб.

cos(c) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(C)

a, b, c are arc lengths expressed as angles (radians or degrees)
C is the angle at the vertex opposite side c

Гіршальтевий випадок і сферична надлишковисть

Найдивніше явище для сферичних трикутників полягає в тому, що їхні кути ніколи не додаються точно до 180 градусів — вони завжди додаються більше. Розглянемо октант сфери, обмежений двома меридіанами на відстані 90 градусів один від одного та чвертю екватора: кожен з його трьох кутів є прямим, і сума дорівнює 270 градусам, що на 90 градусів перевищує значення плоского простору.

Гіршальтевий випадок, від 1629 року, робить цю залежність точною. Визначимо надлишковисть E як суму трьох кутів мінус 180 градусів (перетворених в радіани). Тоді площа трикутника на сфері радіуса R дорівнює просто:

Площа = R^2 * E, E = (A + B + C) - pi (E вимірюється в радіанах) Оскільки площа завжди позитивна, E завжди позитивна, і сума кутів завжди перевищує 180 градусів — чим більше трикутник відносно сфери, тим більша надлишковисть. Зменшіть трикутник до точки, і E зменшується до нуля: локально будь-який невеликий шматок будь-якої сфери виглядає плоским, і звичайну евклідову тригонометрію можна відновити як граничний випадок. Це те саме пояснення, чому футбольне поле здається плоским, навіть якщо воно стоїть на кривій Землі — його надлишковисть значно нижча за будь-яке вимірювання інструментом.

Area = R^2 * E,   E = (A + B + C) - pi   (E measured in radians)

Навігація: чому великий-круглий маршрут виглядає зігнутим

Кожна проекція плойки спотворює щось — площу, кут або відстань — тому що жодна криволінійна поверхня не може бути розгорнута на площину без розтягування. На карті Меркатора прямі лінії є лініями постійної магнітної азимути (лініями курсу), які легко керувати, але майже ніколи не є найкоротшим маршрутом. Найкоротший шлях між двома віддаленими містами — це великий-круглий кут, що з’єднує їх, і на карті Меркатора цей кут зображений як крива, яка схиляється до полю – саме тому політ із Нью-Йорка до Токіо проходить майже над Аляско замість того, щоб «прямо» перетинати Тихий океан, як показує карта.

Обчислення цього маршруту є прямим застосуванням формул вище: розгляньте два міста та Північне положення як три вершини сферичного трикутника. Сторони — це колатитуди двох міст (90 градусів за широтою) і невідома велика-кругла відстань; кут у полю – різниця довгот. Застосування одного з законів косинусів для сферичних трикутників дає відстань, а закон синусів дає початкову магнітну азимуту для керування. Ця точна конструкція, відшліфована протягом століть небесної навігації, все ще лежить в основі маршрутних двигунів комерційних авіацій та програмного забезпечення морської навігації сьогодні.

За межами навігації

Однакові математичні принципи проявляються скрізь, де позиції природним чином описуються на сфері, а не площині. Астрономи перетворюють координати між сферичними координатами — горизонтальними (широта/довгота), екваторіальними (право піднесення/похила) та еліптичною — за допомогою сферичних трикутників, вершинами яких є полюс, зеніт і об’єкт інтересу. Геодезисти використовують їх для встановлення зв'язку між позиціями на опорній еліпсоїдній формі Землі. Кристалографи використовують сферичну тригонометрію на «стереографічній проєкції» кристалічних поверхонь. У кожному випадку привабливість однакова: як тільки ви визнаєте, що поверхня викривлена, сферична тригонометрія надає точні, замкнуті відповіді замість наближень, які поступово руйнуються на великих відстанях.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Spherical Trigonometry і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.