Мережі пружин та критерій Максвелла про рівноваги

Деякі мережі пружин можуть бути нестійними, незалежно від того, наскільки жорсткі ці пружини

Розглянемо 2D мережу точок, з'єднаних нерегулярним випадковим розташуванням Hookeanських пружин, і потягніть за один край. Залежно виключно від того, скільки пружин з’єднується з кільцею точок — а не від жорсткості будь-якої окремої пружини — мережа або деформується вільно без майже ніякого опору, або вона чинить опір як справжня еластична тверда речовина. Це не є твердженням про властивості матеріалу; це твердження про підрахунок. Джеймс Клерк Максвелл вивчив цю логіку в 1864 році, спочатку для аналізу балок та каркасів у конструкційному інженерінгі, і такий аргумент про підрахунок тепер лежить в основі сучасної теорії аморфних твердих тіл, біологічних гелів і переходу до замикання, розглянутого в інших розділах цього веб-сайту.

Підрахунок свобод проти обмежень

Мережа з N точок маси в d вимірах має приблизно d·N ступенів свободи (за винятком кількох, пов'язаних із загальним переміщенням та обертанням, які не вважаються внутрішньою деформацією). Кожна пружина, коли піддається напрузі або стисненню, видаляє один ступінь свободи, фіксуючи відстань між її двома кінцями першочергово — це геометричне обмеження. Середня координація мережі z (середнє число пружин, що зустрічаються в вузлі) безпосередньо встановлює співвідношення обмежень до свобод:

ступені свободи ≈ d · N кількість пружин = z · N / 2 (кожна пружина поділена між двома вузлами) Підрахунок Максвелла: N_обмежень - N_свобод = (z/2 - d) · N z < 2d → ПОДІБРЯНИЙ: існують «м’які» режими — мережа може деформуватися БЕЗКОШТОВНО z = 2d → ІЗОСТАТИЧНИЙ: точно збалансовано — критична/межова точка, z_c = 2d z > 2d → ПЕРЕПОДІБРЯНИЙ: немає «м’яких» режимів — мережа справді ЖОРСТКА жива демонстрація · випадкова пружинна мережа деформується під навантаженням біля z_c● LIVE У двох вимірах z_c = 4: нижче середнього чотирьох пружин на вузол, мережа має більше свобод, ніж обмежень, існують цілі режими деформації — «м’які» режими, які не потребують жоджої еластичної енергії для першого порядку, незалежно від того, наскільки жорсткі окремі пружини Натисніть на мережу нижче порогу і вона просто перерозподіляє свою геометрію вздовж одного з цих вільних напрямків. Вище z_c, будь-яка можлива деформація розтягує принаймні одну пружину, тому кожна деформація коштує енергії — мережа чинить опір і має справжній, кінцевий еластичний (зсувний) модуль.

degrees of freedom  ≈ d · N
number of springs    = z · N / 2        (each spring is shared by 2 nodes)

Maxwell count:  N_constraints - N_freedoms  =  (z/2 - d) · N

z < 2d   →  UNDER-constrained: floppy modes exist — the network can deform for FREE
z = 2d   →  ISOSTATIC: exactly balanced — the critical/marginal point, z_c = 2d
z > 2d   →  OVER-constrained: no floppy modes — the network is genuinely RIGID

Модуль поблизу порогу

Саме в точці z_c модуль пружності дорівнює точно нулю, і безпосередньо над нею він зростає як степеняне співвідношення від перевищення координації, Δz = z − z_c:

G ~ k · Δz (модуль зсуву, поблизу z_c, для мереж пружин з центральною силою) k = індивідуальна жорсткість пружини Δz = z - z_c (перевищення координації над ізостатичною точкою) Це той самий стиль критичного масштабування, що спостерігається на точці запікання для гранульових пакувань, і з хорошою причиною: обидва є прикладами проходження пружності від проникнення — мережа набуває глобальної механічної стабільності від чисто локального геометричного умовного обчислення, коли накопичено достатньо обмежень. Ізостатична точка, z = 2d, є межевим випадком в обох проблемах, тому ці дві теми продовжують перекористовувати математику одна одної, незважаючи на те, що описують фізично різні системи (фіксована пружинна мережа проти пакування вільно переміщуваних дисків).

G  ~  k · Δz          (shear modulus, near z_c, for central-force spring networks)

k  = individual spring stiffness
Δz = z - z_c   (excess coordination above the isostatic point)

Де місця м’які режими дійсно мають значення

Цей аргумент підрахунку є роботою теорією, що пояснює, чому деякі ковалентні склі формуються легко, а інші – ні: Філіппс і Торп показали, що здатність до формування скла в мережах, як-от Ge-As-Se, сильно корелює із середньою атомною координацією, яка знаходиться біля ізостатичного порогу, де мережа достатньо гнучка, щоб розслабитися у безладний, низьконапружений аморфний стан, але при цьому достатньо жорсткою, щоб зберігати свою структуру. Це також описує біологічні мережі волокон – колаген, фібрин, цитоскелет – чия виміряна твердість різко зростає, коли щільність перехресних зв’язків перевищує певний подібний до проникнення поріг, і це пояснює, чому інженери, що аналізують трос або рами велосипедів, інстинктивно рахують трикутники: трикутник (три вузли, три зв’язки) є точно ізостатичним у 2D, що й пояснює, чому структури, що мають форму трикутників, є стандартним вибором для жорстких рамок.

Симулювання випадкової мережі

Створення тестової мережі є простим: розміщуються вузли (на решітці або випадково), з’єднуються контрольована частка p можливих найближчих сусідніх зв’язків як пружини, застосовується невеликий граничний напруження, і внутрішній простір розслабляється за допомогою амплітованої динаміки або мінімалізації прямої енергії для вимірювання отриманої напруженості.

// Hookean spring force between connected nodes i, j
const dx = pos[j].x - pos[i].x, dy = pos[j].y - pos[i].y;
const dist = Math.hypot(dx, dy);
const stretch = dist - restLength[i][j];
const f = k * stretch;                 // Hooke's law
applyForce(i, j, f, direction = (dx, dy) / dist);
// average z = 2 * (number of bonds) / (number of nodes)

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Spring Network і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.