Прецесія гвинтика: Чому обертання не падає

Сила магнитного поля

Наклоните неподвижный велосипедное колесо на веревочке и оно сразу же упадет, вращаясь вокруг веревки к земле. Сначала быстро поверните это же колесо, а затем наклоните его, и происходит что-то странное: вместо того чтобы падать, ось медленно скользит горизонтально по кругу, как будто противоречит гравитации. Ключ в том, какой момент на самом деле меняется. Момент от гравитации не действует непосредственно на массу колеса — он действует на его вектор углового момента L, который для быстро вращающегося колеса велик и направлен вдоль оси вращения. Момент изменяет только направление вектора углового момента, а не его величину, поэтому вместо того чтобы ось падала вниз, L поворачивается вбок. Этот боковой поворот оси вращения является прецессией.

Формула прецесії

Для симетричної сфери, що обертається навколо власного осі з кутовою швидкістю ω, з моментулою обертання L = Iω, сила гравітаційного тяжіння відносно опори має величину τ = mgr, де r - відстань від опори до центру маси. Стабільна прецесія балансує дві сили:

τ = m g r // гравітаційний тягінь відносно опори L = I ω // моментул обертання Ω = τ / (L sinθ) = m g r / (I ω sinθ) // кутова швидкість прецесії Зверніть увагу, що кутова швидкість прецесії Ω обернено пропорційна кутовій швидкості обертання ω: обертайте сферу швидше, і для тієї ж сили гравітаційного тягіння вона буде прецесуватися повільніше та виглядатиме більш стабільно та пишно. Зменште швидкість обертання — як це неминуче відбувається через тертя — і та сама сила тяжіння тепер вимагатиме швидшої прецесії, щоб встигати за нею, що є точно видимим тремтінням, яке ви спостерігаєте перед тим, як сфера нарешті перевернеться.

τ = m g r                          // gravity torque about the pivot
L = I ω                            // spin angular momentum
Ω = τ / (L sinθ) = m g r / (I ω sinθ)   // precession angular velocity

Нютація: коливання поверх рівня прецесії

Вищенаведений вираз описує ідеалізовану, сталу прецесію, але це лише одне з можливих розв’язків рівнянь руху. Якщо звільнити реальний гіроскоп від спокою під певним кутом нахилу, його вісь не одразу встановиться у цьому стабільному колі – замість цього вона простежить невеликий петлеподібний або вигнутий шлях, коливаючись і піднімаючись у нахилі. Ця додаткова, швидша, меншого амплітуди коливання називається нютацією. Вона виникає через те, що початкові умови (вісь звільнена від спокою) не точно відповідають розв’язку стабільної прецесії, і тертя в шарнірі поступово згасає нютацію, залишаючи плавний, стабільний прецесію як довгострокову поведінку.

Реальні наслідки

Земля поводиться як величезний, повільно обертаючийся глобус: гравітаційне тяжіння Сонця та Місяця впливає на її екваторіальне випинання, створюючи моменту, який змушує осі обертання планети коливатися навколо 26 000-річного циклу — причина того, що зірка-полярне місто змінювалася протягом тисячоліть і зміниться ще раз. Та ж фізика свідомо впроваджується в гірокомпасів, які коливаються до тих пір, поки вони не вирівнюються з віссю обертання Землі, таким чином знаходячи справжнє північне положення без магнітної посилання; у системах керування орієнтацією космічних апаратів, де обертові реактивні колеса використовують цю точну взаємозв’язок між моментом та кутовим моментом для переорієнтації супутника; і в набійній гвинті, який підтримує напрямок носа кулі за допомогою протидії невеликим дестабілізуючим моментурам опору повітря.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Gyroscope Precession і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.