Стабільні Рідини: Як Ігри Моделюють Дим в Реальному Часі

Чому наивні розчинники рідин вибухають

Рівняння Навіє-Стокса описують рух незмісних рідин, а традиційний спосіб чисельного моделювання їх за допомогою є алгоритм явного кінцевих різниць: просувати швидкість вперед на невеликий крок часу, використовуючи поточні похідні поля. Явні схеми, такі як ця, стабільними є лише тоді, коли крок часу залишається нижче межі, встановленої умовою CFL — приблизно нічого не може пройти більше одного комірки сітки на крок, і дотримання цього обмеження при реальних частотах кадрів вимагало б сотень підкроків на кадр для будь-якої розумно тонкої сітки. Стабільність рідин Джосса Стама в його статті SIGGRAPH 1999 «Stable Fluids» досягається безпосередньо, оскільки він замінює пряме інтегрування швидкості чимось, що не може вибухнути — інтерполяцією.

Вирішення у три кроки

Кожен кадр симуляції Stable Fluids запускає одну й ту ж короткий контур на своїй швидкості-полі: застосовувати зовнішні сили, переміщувати поле вздовж себе та потім коригувати його так, щоб маса зберігалася.

addForce(w, dt)     // buoyancy, an injected smoke source, wind
advect(w, w, dt)    // semi-Lagrangian: trace back, bilinear sample
project(w)          // enforce ∇·w = 0 — incompressibility

Напівлагрангове перенесення: торгівля точністю заради стабільності

Замість того, щоб запитувати "Куди має перейти вміст цієї комірки?", напівлагрангове перенесення ставить протилежне питання для кожної комірки: "Звідки взявся вміст цієї комірки?" Воно відстежує віртуальну частинку назад через поточне поле швидкості за один часовий крок, а потім зчитує значення попереднього кадру в цій точці за допомогою білінійного семплювання:

Для кожної комірки x: x0 = x - dt * velocity(x) // Відстеження назад на один часовий крок q(x) = bilinearSample(q_prev, x0) // Читання попереднього поля там Оскільки оновлення є лише зразком існуючого поля, воно не може підсилити значення вище того, що було вже присутнім — немає зворотного зв’язку для розповсюдження помилки, тому метод безумовно стабільний незалежно від того, наскільки великий часовий крок. Ціна - чисельне дифузія: білінійне семплювання тихо усереднює найдрібніші деталі на кожному кроці, тому змодельоване диму розмивається та втрачає чіткість структури швидше, ніж справжній дим.

for each cell x:
  x0    = x - dt * velocity(x)        // trace backward one time step
  q(x)  = bilinearSample(q_prev, x0)  // read the previous field there

Послідовність проектування: робимо це незмінюваним

Голомодезаком Гельмгольца стверджується, що будь-який векторний потік можна розкласти на частину з нульовою дивергенцією та градієнт скалярного поля. Послідовність проектування безпосередньо використовує це: вона розв’язує рівняння Пуассона для скалярного поля тиску, а потім віднімає градієнт цього тиску з полів швидкості, залишаючи результат із нульовою дивергенцією — дискретний еквівалент «жодного об'єму рідини не створюється або не знищується в жодній точці».

∇²p = ∇·w // Рівняння Пуассона для тиску w = w - ∇p // віднімання градієнту тиску → векторний потік з нульовою дивергенцією Рівняння Пуассона розв’язується ітеративно на сітці — стандартні методи Гаусса-Зеіделя або Якобі, зазвичай достатньо 20 до 40 ітерацій для візуально стабільного диму з незмінюваною швидкістю при інтерактивних частотах кадрів.

∇²p = ∇·w        // Poisson equation for pressure
w   = w - ∇p     // subtract the pressure gradient → divergence-free velocity

Отримання звислотипного руху: обмеження вихлюпу

Одна справжня вартість цієї стабільної, дифузійної схеми полягає в тому, що тонкі спіралі віхлюпів, які розвиваються справжній димний стовп, згладжуються повторним інтерполюванням, залишаючи результат виглядати плоским і липким замість турбулентного. Техніка обмеження вихлюпу 2001 року від Федківа, Стама та Дженсена вимірює місцевий хід поля швидкості, а потім додає невелику штучну силу, яка штовхає рідину до областей з більшою величиною магнітуди вихлюпу — навмисно повторно впроваджуючи обертальну енергію, яку чисельний метод безперервно розсіює, без необхідності значно більш детальної, набагато дорожчої сітки.

ω      = ∇ × w                       // vorticity — the curl of velocity
N      = ∇|ω| / |∇|ω||               // normalised gradient of vorticity magnitude
f_conf = ε * (N × ω)                 // confinement force added back into w

Чому цей метод все ще домінує в реальному часі VFX

Необхідна стабільність на великих кроках часу та грубій сітці є тим, що робить можливим інтерактивний дим і вогонь у іграх і демо-версіях у браузері з частотою 60 кадрів в секунду. Офлайн-виробництво фільмів, використовуючи розв’язувачі FLIP Houdini або на основі частинок, працює з набагато вищою роздільною здатністю та більш фізично точними схемами, оскільки не потрібно дотримуватися бюджету реального часу. Але той самий базовий рецепт — напів-лагрангова адвекція, проектування тиску та утримання вироту — при більш високій роздільній здатності та з більшою кількістю кроків підрозділу все ще лежить в основі більшості GPU-розв’язувачів диму та вогню, які використовуються сьогодні в виробництві, більше ніж за два десятиліття після оригінальної статті Стама.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Smoke VFX — Stable Fluids і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.