Порівняння картних проекцій: Меркатор, Молвейде та індикатор Тіссо

Неможливо повністю розкласти сферу на площину без введення неточностей

Теорема Гауса (Theorema Egregium) доводить, що вигнута поверхня, така як сфера, не може бути відображена на плоску лінію без спотворення відстаней, кутів або площ — завжди потрібно пожертвувати принаймні одним з них. Кожна проекція має бути свідомим компромісом, і вибір того, що захищати, визначає мету проекції: проекція, призначена для навігації, захищає кути, а проекція, призначена для порівняння площ країн, захищає площу. Більшість компрометують обидва, помірно спотворюючи обидві.

Збіжне: проекція Меркатора

Проекція Меркатора (1569) є збіжною — вона зберігає місцеві кути та форми, що саме й пояснює її розробку для навігаторів: пряма лінія, намальована на карті Меркатора, є курсовою лінією, шляхом постійної магнітної арії, дозволяючи навігатору стежити за одним напрямком протягом усього плавання. Ціна – спотворення площі: Меркатор розтягує східно-західні відстані в 1/cos(широти) і, щоб підтримувати кути правильними, також розтягує півночі та півдні тим самим фактором, тому спотворення площі зростає як 1/cos²(широти). Тому Гренландія виглядає континентальною порівняно з Африкою на карті Меркатора, незважаючи на те, що вона становить лише одну чверть її фактичної площі.

Рівномірні за площею: Молвейде, синусоїдальна, лямбідська ефемеридна

Рівномірні (еквівалентні) проекції жертвують кутовою точністю, щоб площа будь-якої області завжди була пропорційною її справжній площі — це необхідно для квірзових карт, статистики населення або покриття землі. Синусоїдна проекція зберігає горизонтальну масштаб уздовж кожної паралелі та малює меридіани як синусні криві, що збігаються в полюсах. Молвейде проекція замість цього відображає весь світ у вигляді еліпса, більше спотворюючи форму, але більш плавно розподіляючи стиснення полюсів. Лямбідська ефемеридна рівномірна проекція центрується на одній точці (зазвичай на полюсі) і зберігає площу в усіх напрямках від цієї точки, що робить її добре підходящою для карт півкулі або полярних регіонів, незважаючи на те, що спотворення форми збільшується до краю карти.

conformal (angle-true):     Mercator, stereographic
equal-area (area-true):     Mollweide, sinusoidal, Lambert azimuthal EA
compromise (neither exact): Robinson, equirectangular, Winkel tripel

Mercator area distortion factor ≈ 1 / cos²(latitude)
  at 60° latitude:  1/cos²(60°)  = 4×   too large
  at 80° latitude:  1/cos²(80°) ≈ 33×   too large

Індекс Тіссо: безпосереднє вимірювання спотворення

Індекс Тіссо робить спотворення видимим, а не абстрактним: уявіть, що розміщуєте на карті багато дисків постійної реальної радіусу, і подивіться, якою формою стає кожен диск після проекції. На конформній проєкції будь-який індекс залишається колом, просто різного розміру на різних широтах — кути зберігаються, площа не зберігається. На проєкціях рівної площі будь-який індекс утримує ту ж площу, але розтягується в еліпс — форма жертвується, площа не змінюється. Для проєкцій, які не є жодною з цих двох, індекси спотворюються як за розміром, так і за формою, що точно відповідає тому, що ви бачите на загальних компромісних проєкціях, таких як екваторіальна (простий лат/довгота сітка, легка для обчислення, справжня лише вздовж екватора або обраної стандартної паралелі, і все більше розтягується на схід-захід у полюсах) .

Вибір проєкції тому не про те, щоб знайти найточнішу карту — такої не існує для сфери на площині — а полягає в тому, щоб відповідати збереженій властивості меті карти: Меркатор для кутів, Морлі або синусоїдальна для порівняння площ, Ламберт-азимутальна для полярного регіону та компромісна проєкція, така як Робінсон, коли карта просто потребує виглядати розумно на перший погляд.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Spherical Projections і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.