Геодезичні куполи: Поділ ікосаїда за формулою Ейлера

Разбиение треугольника до появления формы сферы

Геодезический купол начинается с платоновой фигуры, у которой грани уже являются треугольниками — почти всегда icosaэдр, состоящий из 20 идентичных равносторонних треугольников, потому что это самая сферичная из пяти. Каждый треугольный элемент затем делится на сетку меньших треугольников с определенной частотой ν (также записывается nv, например, 3v, 4v): 1v icosaэдр — это простой твердый объект со 20 плоскими гранями, версия 2v разделяет каждый элемент на 4 более мелкие треугольники, версия 3v — на 9 и в общем случае элемент разбивается на ν² треугольников. Каждый новый узел, созданный делением, отбрасывается радиально наружу до тех пор, пока он не окажется на поверхности окружающей сферы, что превращает многоугольное твердое тело в то, что издалека выглядит как гладкий купол.

Поскольку треугольники — единственная фигура, которая не может изгибаться или деформироваться — три фиксированные длины сторон заставляют одну фиксированную форму — оболочка из треугольников распределяет нагрузку посредством простого натяжения и сжатия вдоль своих балок, а не путем изгиба. Увеличение частоты примерно вдвое увеличивает количество различных длин балок, необходимых для этого, что является практической стоимостью более гладкого и сферичного купола: 1v куполов нуждаются только в нескольких уникальных длинах деталей, а 6v купол требует десятки.

Бек- fuller та формула Ейлера

Бек- fuller запатентував геодезичний купол у 1954 році (існують попередні прототипи Вальтера Бауерфельда для планетарію Zeiss у 1920-х роках), просуваючи його як найміцніший і легкий захисний елемент на одиницю об'ємного простору, який можна побудувати з коротких, однакових, масово виробничих балок. Топологія будь-якого поділеного ікосаедра відповідає формулі багатогранника Ейлера, V − E + F = 2, яка справедлива для будь-якого опуклого багатогранника та дозволяє передбачити повний розрахунок частин від частоти без вирізання жодної балки.

icosahedron subdivided at frequency f:
F = 20 f²              triangular faces
E = 30 f²              edges (struts)
V = 10 f² + 2          vertices (hubs)
check: V - E + F = (10f²+2) - 30f² + 20f² = 2   ✓ Euler's formula, any f

f=1 (plain icosahedron): F=20, E=30, V=12
f=2:                     F=80, E=120, V=42
f=3:                     F=180, E=270, V=92

Вісімгран, тетраедри та вибір основи твердого тіла

Ікосаедр є базовою моделлю за замовчуванням, оскільки його 20 майже рівносторонніх трикутників зазнають найменше спотворень при розміщенні на сфері, що забезпечує найбільш плоску куполу для заданої частоти – як у відомому Expo 67 Biosphère Фуллера та геодезичних теплицях Eden Project. Вісімгран (8 граней) або тетраедр (4 грані), поділені таким самим чином, також створюють коректну геодезичну сферу, але з меншою кількістю, більшими, більш нерегулярними трикутниками на кожній грані при тій самій частоті – що корисно, коли дизайн потребує більш гострих, кутчастих фасетів або часткової куполи, яка природним чином вирівнюється з плоским екваторіальним поясом вісімграна замість перекритих п’ятикутниками та шестикутниками ікосаедра.

Чому трикутні оболонки є структурно ефективними

Міцність купола полягає в тому, що кожен елемент підтримки може нести навантаження у чистому натягу або стисненні, а не в деформації, і в тому, що навантаження від одного елемента розподіляється по всій трикутної мережі, а не концентрується на одному шляху до землі – той самий принцип, який робить міст із кронштейна стійким з порівняно невеликою кількістю матеріалу. Це також пояснює, чому геодезичні куполи добре масштабуються для великих просторів з відкритим перекриттям (стадіони, теплиці, радіоміри): поверхнева площа, і відповідно втрати матеріалів та тепла, росте повільніше відносно об'єму, ніж у прямокутній будівлі тієї ж місткості, оскільки сфера є формою з мінімальною площею поверхні для заданого об’єму.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Geodesic Domes і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.