Соціальна мобільність як Марківський ланцюг: Куди закінчуються сім’ї

Five boxes, and where children land

Split a population into five income quintiles — bottom fifth to top fifth — and ask a simple question: given which quintile a parent belonged to, what is the probability distribution of which quintile their adult child ends up in? Answering that question for every starting quintile produces a transition matrix, and treating each generation as one step of a Markov chain — where the next state depends only on the current state, not on the family's earlier history — turns intergenerational mobility into a clean, well-studied piece of applied probability.

Reading the transition matrix

Each row of the matrix corresponds to a parent's quintile, and each entry in that row gives the probability a child raised there lands in each of the five quintiles as an adult. The diagonal entries — the probability of landing in the same quintile as your parents — are the single most informative numbers in the whole matrix. A perfectly mobile society would have every row identical, with a child’s outcome completely independent of their parents’ quintile; a perfectly rigid, caste-like society would have a matrix that is the identity — every child ends up exactly where their parents started, with probability 1 on every diagonal entry and 0 everywhere else. Real societies sit somewhere between these extremes, and the specific shape of the matrix — is stickiness concentrated at the very top and bottom, or spread evenly? — matters as much as any single summary number.

P_ij = P(child in quintile j | parent in quintile i)      5×5 matrix, rows sum to 1

stationary distribution π solves:   π = π P
  (the long-run share of the population in each quintile,
   independent of where any specific lineage started)

found by iterating:   π_(n+1) = π_n · P     until it stops changing
  — this convergence speed is the chain's "mixing time":
    how many generations before your starting quintile stops mattering

Стаціонарний розподіл та час змішування

Застосовуйте той же матрицю переходу з покоління в покоління, і — якщо ланцюг добре поводиться, тобто можливо досягти будь-якого квартилю від будь-якого іншого — розподіл населення між квартилями сходиться до унікального стаціонарного розподілу π, лівого власного вектора матриці, пов’язаної з власним числом 1. Це довгострокова рівновага, в яку припадає вся популяція, незалежно від того, в якому квартилі почала своє родовля будь-яка окрема лінія роду. Як швидко ланцюг досягає цієї точки — його час змішування — теж інформативний: матриця з сильною діагональною стійкістю потребує багатьох поколінь, щоб забути про початкове положення родовля, що є математично точним способом сказати, що мобільність низька.

The Great Gatsby Curve

Economist Alan Krueger popularised, and Miles Corak extensively documented, an empirical cross-country pattern now known as the Great Gatsby Curve: countries with higher income inequality within a generation also tend to show lower intergenerational mobility — a child's economic outcome is more tightly tied to their parents' outcome in societies that are more unequal to begin with. It is a correlation observed across many countries rather than proof of a single causal mechanism, and researchers debate exactly which channels — access to education, neighbourhood effects, credit constraints, inherited wealth — do the most work in linking the two, but the pattern itself has replicated consistently enough to become a standard reference point in the mobility literature, including the large-scale U.S. tax-record studies led by Raj Chetty and collaborators at Opportunity Insights.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Social Mobility і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.