Кислотно-лужна рівновага

Від SIR до SEIR: додавання періоду інкубації

Класична модель SIR розділяє популяцію на три резервуари — Схильні, Інфіковані, Одужені, і переміщує людей між ними двома швидкостями: швидкість передачі β (схильна зустрічається з інфікованою, стає інфікованою) та швидкість відновлення γ (інфікована стає одуженою). Це хороший перший модель, але неправильно для захворювань з значним періодом інкубації, коли людина заражена, але ще не заразлива. SEIR додає четвертий резервуар, Виявлені, та швидкість σ (обернена середньої тривалості інкубації), яка визначає, наскільки швидко виявлена особа стає заразною:

dS/dt = -β*S*I/N

dE/dt = β*S*I/N - σ*E

dI/dt = σ*E - γ*I

dR/dt = γ*I

віртуальний демо — взаємодія частинок, що призводить до S до E до I до R● ВІДЕО На цьому сайті резервуари не є чотирма числами, інтегрованими як система диференціальних рівнянь — вони є станом окремих рухомих частинок. Кожна частинка несе мітку резервуара, рухається по канві та переходить, коли положення схильної частки перетинає положення інфікованої (стохастичний аналог β·S·I/N на рівні контакту) або коли внутрішні таймери для інкубації та відновлення закінчуються.

dS/dt = -beta*S*I/N
dE/dt =  beta*S*I/N - sigma*E
dI/dt =  sigma*E     - gamma*I
dR/dt =  gamma*I

R0 та поріг, що вирішує все

Найважливішим числом в епідеміології є базовий показник репродуктивності R0 – середній очікуваний кількість вторинних інфекцій, яку викликає одна інфікована особа у повністю схильної популяції. Для SEIR, R0 = β/γ. Якщо R0 > 1, кожна інфекція виробляє більше однієї нової інфекції в середньому та епідемія спочатку зростає експоненціально; якщо R0 < 1, вона згасає. R0 не є постійною властивістю патогену – це залежить від контактних швидкостей, тому карантин, носіння масок і закриття шкіл працюють шляхом зниження середнього показника репродуктивності Rt нижче 1, а не шляхом зміни вірусу.

Імунізація скоріш за все не потрібна: як формується імунний тиск

Імунізаційний бар’єр – це частка населення, яка повинна бути захищена (за допомогою інфекції або вакцинації), щоб Rt впав нижче 1, навіть якщо патоген не змінився. Оскільки кожен заразний контакт тепер має шанс досягти вже імунної людини, поріг безпосередньо випливає з R0:

Імунізаційний бар’єр p_c = 1 - 1/R0 R0 = 2 => p_c = 50% (приблизно як сезонне грип), R0 = 6 => p_c ~ 83% (приблизно як вітрянка, оцінки до вакцинації). Досягнення цієї частки не змушує хворобу миттєво зникнути; це робить кожну нову ланцюжок передачі статистично ймовірно, щоб погаснути перед тим, як вона досягне багатьох людей, захищаючи навіть незахищених меншин опосередковано. Кварantine діє на іншому рівні: замість того, щоб вилучати сприйнятливих з пулу (що робить вакцинація), вона видаляє заразні контакти, зменшуючи ефективний β, і на відміну від вакцинації її можна скасувати, коли це можливо - що пояснює, чому стратегії лише з карантину дають другий хід після його припинення, а імунний тиск, заснований на вакцинації, не робить цього.

herd immunity threshold  p_c = 1 - 1/R0

R0 = 2  =>  p_c = 50%     (roughly seasonal flu)
R0 = 6  =>  p_c ~ 83%     (roughly measles, pre-vaccine estimates)

Де відбувається розбіг між простим моделлю

Реальні епідемії відрізняються від цього способами, які варто знати перед тим, як довіряти чиселам на дашборді. Імунітет від інфекції або вакцинації може слабшати, повертаючи R назад у стан S з часом (SEIRS-варіант). Мережі контактів не є однорідними — невелика кількість суперрозповсюджувачів може домінувати в передачі способами, які приховає середнє значення β. І оцінки R0 на основі даних про ранні випадки також дуже чутливі до недооцінювання та умовної серії інтервалу, тому достовірні оцінки R0 для одного й того ж патогену можуть відрізнятися вдвічі між науковими роботами.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Epidemic Dynamics і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.