Еластичність гуми: ентропія, поперечні зв’язки та підйом моделі Gent

Entropiya, а не розтягнуті зв’язки, робить тяжіння

Розтягніть сталеву пружину і ви згинаєте атомні зв’язки від їхньої мінімальної енергетичної відстані; відпустіть, і зв’язки повернуться до цього мінімуму. Розтягніть гусеничність і майже нічого з цього не відбувається — полімерні ланцюжки між поперечними зв’язками вже скручені випадково, і розтягування їх прямо не підвищує енергію їхніх зв’язок настільки, як знижується їхня ентропія: існує набагато менше способів для ланцюга залишатися майже прямим, ніж блукати у випадковому котунах. Еластичність гусеничності переважно є ентропійним ефектом, що також пояснює, чому підігрівання розтягнутої гусеничності робить її сильнішою, протилежно сталевій пружині.

Модель Ньютона: найпростіша теорія мережі

Статистична теорія еластичності гуми розглядає матеріал як мережу вільно з’єднаних ланцюгів між фіксованими поперечними зв’язками та виводить закон напруження-деформації безпосередньо з ентропії гауссового ланцюга. Найпростіша енергія деформації, що випливає з цього — Ньютонівська — залежить від однієї матеріальної константи, встановленої щільністю поперечних зв’язків:

W = (G/2) * (I1 - 3) енергія деформації σ = G * (λ - 1/λ^2) уніаксiale справжня напруга G = модуль зсуву ~ n * k_B * T n = щільність числа мережевих ланцюгів між поперечними зв’язками λ = відношення розтягування (довжина / початкова довжина) I1 = λ^2 + 2/λ (перша тензорна інваріантна величина, уніаксiale) Це співвідношення G ~ n·kB·T є найбільш корисним фактом у еластичності гуми: жорсткість безпосередньо випливає з щільності поперечних зв’язків та температури, а не від будь-якої внутрішньої жорсткості зв’язку. Тому гума з більшою щільністю поперечних зв’язків (наприклад, більше сірки в вулканізованому автомобільному колесі) твердіша виключно через те, що між вузлами є коротші та більш обмежені ланцюги.

W = (G/2) * (I1 - 3)                  strain energy density
sigma = G * (lambda - 1/lambda^2)     uniaxial true stress

  G      = shear modulus  ~  n * k_B * T
  n      = number density of network chains between cross-links
  lambda = stretch ratio (length / original length)
  I1     = lambda^2 + 2/lambda   (first strain invariant, uniaxial)

Делаюся розлом у Neo-Hookеані: Mooney–Rivlin і Gent

Neo-Hookeанська теорія добре відповідає справжньому каучуку на невеликому та помірному розтягу, але систематично недооцінює виміряну напруженість при більшому розтягу. Mooney–Rivlin додає другий інваріантний член із емпіричною константою C2, який переважно коригує помірний розтяг і все ще широко використовується для проектування ущільнень та шин, оскільки він відповідає лише двома параметрами. Жодна з моделей не вловлює різкий поворот, який спостерігається безпосередньо перед розривом каучуку, оскільки ідеальна Гауссова ланцюжка не має максимальної довжини — справжні ланцюжки мають. Модель Gent виправляє це, включивши кінцевий ліміт розтяжності ланцюга Jm і дозволяючи напрузі розійтися, коли розтяг наближається до нього:

W_Gent = -(G * Jm / 2) * ln(1 - (I1 - 3)/Jm)

  Jm -> limiting value of (I1 - 3) as chains approach full extension
  as (I1 - 3) -> Jm,  W -> infinity   (captures the stiffening upturn)

Чому підйом має значення для дійсних частин

Тепіння в кінці не є дратівливістю при налаштуванні кривої — це запобіжний механізм. Коли гумова прокладка або бічне положення шини наближаються до напруженості, де мережеві ланцюги майже повністю розтягнуті, різко зростаюче напруження добре протистоїть подальшому розтягуванню ще задовго до того, як матеріал порвететься, забезпечуючи м’яку та прощену відповідь протягом більшості її робочого діапазону і тверде попередження безпосередньо перед відмовою. Налаштування нео-хукеанських та моїнів-рівлінових моделей лише на робочому діапазоні тихо недооцінює напругу поблизу відмови, що є поширеною причиною оптимістичних проєктів прокладок і ущільнень.

Кросстлукавність у практиці

Вулканізація – нагрівання сирої гуми з сіркою – це буквально акт встановлення n, кросстлукавності, шляхом формування сірковідних мостиків між полімерними ланцюгами. Гума легко переплетення (м’яка, низький G, велика розтяжність Jm) поводиться як гумова стрічка; гума важко переплетення (високий G, низька Jm) поводиться як твердий матеріал для ущільнення з низькою розтяжністю, і той самий статистичний каркас – просто з різними n та Jm – описує обидва.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Rubber Network Elasticity і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.