Elastyczność Gumy: Entropia, Łączenia Krzyżowe i Wzrost Modelu Genta

Entropia, a nie rozciągnięte wiązania, powoduje naprężenie

Rozciągnij sprężynę stalową i odchylasz wiązania atomowe z ich najniższej energii; puść i wiązania wracają do tego minimum. Rozciągnij gumowy pasek, a prawie nic się wtedy nie dzieje – łańcuchy polimerowe między połączeniami są już w losowym splocie, a wyciąganie ich prostszych nie podnosi energii wiązania tak bardzo, jak obniża entropię: istnieje znacznie mniej sposobów na to, aby łańcuch pozostał prawie prosty niż na jego przypadkowy zwijanie. Elastyczność gumy jest w przeważającej mierze efektem entropicznym, co również wyjaśnia, dlaczego podgrzanie rozciągniętego gumowego paska sprawia, że ​​on mocniej się kurczy, w przeciwieństwie do sprężyny metalowej.

Neo-Hookowska model: najprostsza teoria sieci

Teoria statystyczna elastyczności gumy traktuje materiał jako sieć swobodnie połączonych łańcuchów między ustalonymi krzyżowymi połączeniami i wyprowadza prawo naprężenia-rozciągania bezpośrednio z entropii gałęzi o rozkładzie normalnym. Najprostsza gęstość energii naprężeń, która wynika z tego – Neo-Hookowska – zależy od jednej stałej materiałowej ustalonej przez gęstość krzyżowych połączeń (łańcucha sieci):

W = (G/2) * (I1 - 3) gęstość energii naprężenia sigma = G * (lambda - 1/lambda^2) naprężenie prawdziwe jednowymiarowe G = moduł ścinający ~ n * k_B * T n = gęstość sieciowych łańcuchów między krzyżowymi połączeniami lambda = współczynnik rozciągania (długość / pierwotna długość) I1 = lambda^2 + 2/lambda (pierwsza izotropia naprężenia, jednowymiarowa) To związek G ~ n·kB·T jest najcenniejszym faktem w elastyczności gumy: sztywność pochodzi bezpośrednio z gęstości krzyżowych połączeń i temperatury, a nie od własnej twardości wiązań, więc bardziej gęsto połączona guma (więcej siarki w wykałaczniku), jest sztywniejsza wyłącznie dlatego, że ma krótsze, bardziej ograniczone łańcuchy między węzłami.

W = (G/2) * (I1 - 3)                  strain energy density
sigma = G * (lambda - 1/lambda^2)     uniaxial true stress

  G      = shear modulus  ~  n * k_B * T
  n      = number density of network chains between cross-links
  lambda = stretch ratio (length / original length)
  I1     = lambda^2 + 2/lambda   (first strain invariant, uniaxial)

Kiedy teoria Neo-Hookeńska zawodzi: Mooney–Rivlin i Gent

Teoria Neo-Hookeńska dobrze oddaje zachowanie się prawdziwego gumy w małych i umiarkowanych rozciągnięciach, ale systematycznie nieprawidłowo opisuje zmierzone naprężenia przy większych rozciągnięciach. Mooney–Rivlin dodaje drugi człon z inwariantem, z empiryczną stałą C2, który głównie poprawia zachowanie w umiarkowanym zakresie rozciągania i nadal jest szeroko stosowany w projektowaniu uszczelek i opon, ponieważ pasuje jedynie dwoma parametrami. Żaden z tych modeli jednak nie oddaje ostrych skoków naprężeń obserwowanych tuż przed rozerwaniem gumy, ponieważ idealna gałąź Gaussa nie ma maksymalnej długości – rzeczywiste łańcuchy mają.

Model Gent rozwiązuje ten problem, wprowadzając skończoną granicę rozciągliwości łańcucha Jm i pozwalając naprężeniu na rozbieżność, gdy rozciąganie zbliża się do niej.

W_Gent = -(G * Jm / 2) * ln(1 - (I1 - 3)/Jm)

  Jm -> limiting value of (I1 - 3) as chains approach full extension
  as (I1 - 3) -> Jm,  W -> infinity   (captures the stiffening upturn)

Dlaczego wzrost się liczy w przypadku rzeczywistych wartości

To późne napięcie to nie jest problem dopasowania krzywej – jest to funkcja bezpieczeństwa. Podobnie jak uszczelniacz gumowy lub bieżnik opon zbliża się do obciążenia, w którym ich sieciowe łańcuchy są prawie całkowicie rozciągnięte, ostro rosnące naprężenie skutecznie przeciwdziała dalszemu rozciąganiu z dobrze przed tym, że materiał pęka, co daje miękki i łagodny odzew na większości zakresu pracy oraz sztywną ostrzegawczą reakcję tuż przed awarią. Dopasowania neo-Hooka i Mooney’ego–Rivlina, skalibrowane tylko w zakresie pracy, cicho niedoszacowują naprężenia w pobliżu punktu awarii i stanowią częsty powód do nadmiernie optymistycznych projektów uszczelek i podkładek.

Przykładowa gęstość krzyżowa w praktyce

Wulkanizacja – podgrzewanie suwnego gumy z siarką – to dosłowne działanie ustawiające n, gęstość krzyżową, poprzez tworzenie mostów siarczkowych pomiędzy łańcuchami polimerowymi. Guma słabo skrzyżowana (miękka, niski G, duża rozciązalność Jm) zachowuje się jak gumowy element; mocno skrzyżowana guma (wysoki G, niski Jm) zachowuje się jak twardy, mało rozciągliwy materiał uszczelniający, a ten sam formalizm statystyczny – tylko z różnymi n i Jm – opisuje oba.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Rubber Network Elasticity i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.