Функція Рімана Зета: Нулі, Критична Смуга та Прості Числа

Обчислення, які не повинні збігатися, і вони все ж таки збігаються

Функція Рімана починається як нескінченна сума, ζ(s) = 1 + 1/(2ˢ) + 1/(3ˢ) + 1/(4ˢ) + ..., яка збігається лише для комплексних чисел s із дійсною частиною більшою за 1. Інсайт Бернгарда Рімана 1859 року полягав у тому, щоб аналітично продовжити цю суму майже по всьому комплексному плану — унікально розширити її, зберігаючи диференційованість, до будь-якого s, крім s = 1, де функція має простий полюс (сума буквально прямує до нескінченності, що відповідає збіжності гармонійної серії при s = 1). Десять місць, включаючи для від'ємних та комплексних s, де початкова сума не має жодного сенсу, ζ(s) є добре визначеним і гладким комплексним числом.

Зета як функція: основні поняття

Леонhard Ойлер вже століття тому показав, що це сума дорівнює нескінченному добутку всіх простих чисел:

ζ(s) = ∑ (1/n^s, n=1..inf) = ∏ (1/(1 - p^-s), p prime)

Це важливе співвідношення, яке пояснює, чому теоретики числівідності цікавляться зетою: це міст між додатною сферою сум та множинною сферою простих чисел, і воно існує завдяки унікальному розкладу на множники. Будь-яке питання про те, як розподілені прості числа, може принаймні теоретично бути перетворене на питання про аналітичну поведінку ζ(s) — і цей переклад виявився надзвичайно продуктивним.

zeta(s) = sum(1/n^s, n=1..inf) = product(1/(1 - p^-s), p prime)
// the sum ranges over all positive integers; the product ranges only over primes —
// they're equal because every integer factors uniquely into primes (unique factorisation)

Тrivial zeros and the critical strip

ζ(s) = 0 at every negative even integer — s = −2, −4, −6, і так далі — це прямий наслідок функціонального рівняння, яке вивів Рійман, яке пов’язує ζ(s) з ζ(1 − s) через фактор, який зникає в цих точках. Ці zeros називаються trivial (простими), оскільки їхнє розташування повністю зрозуміле та нецікаве для теорії чисел. Кожен інший zero ζ(s) доведено, що знаходиться в критичній смузі, 0 ≤ Re(s) ≤ 1.

Різноманітність нулів Рімана

Ріман припустив — і це не доведено понад 165 років потому — що кожен нетривіальний нуль має дійсну частину рівно 1/2, який розташований точно на критичній прямій Re(s) = 1/2, що проходить через критичну смугу. Більше 10 триндя мільйонів нулів було обчислено чисельно, і кожен з них знаходився на цій лінії, що є сильним емпіричним доказом, але не доказом — теорія чисел раніше горіла від припущень, які трималися для астрономічно великих, але все ще кінцевих діапазонів, перш ніж вони зазнавали невдачі (числа Скьюеса та кон'юктура Мертенса є класичними попередженнями). Рівняння Рімана є одним із семи проблем Мілленіальних Грантів, на які нараховано 1 мільйон доларів за доказ або спростування, і залишається найважливішим відкритим питанням у чистих математичних науках.

functional equation:  zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s)
trivial zeros:        s = -2, -4, -6, ...      (from the sin factor vanishing)
critical strip:       0 < Re(s) < 1           (where all non-trivial zeros must lie)
Riemann Hypothesis:   every non-trivial zero has Re(s) = 1/2 exactly (unproven)

Чому це може закріпити основні числа

Зв’язок із простими числами проходить через функцію підрахунку простих чисел π(x) (кількість простих чисел ≤ x) та її гладку апроксимацію, логарифмічний інтеграл Li(x). Теорема про основні числа (доведена у 1896 році незалежно Гадамардом і де ла Валле Пуссеном, використовуючи саме той факт, що ζ(s) не має нулів на лінії Re(s) = 1) вже гарантує, що π(x) ~ Li(x) коли x → ∞. Але похибка між π(x) та Li(x) — наскільки щільно фактичне розподілення простих чисел пригинається до гладкої кривої — контролюється тим, наскільки близько нулі незмінні до Re(s) = 1/2. Якщо гіпотеза Рімана вірна, ця похибка є найменшою, яку можна собі уявити, O(√x log x); чим далі будь-який нуль віддаляється від критичної лінії, тим більшою і менш передбачуваною може бути дозволена похибка. Доведення цього не змінить те, які є прості числа — воно доведе, що вони розподілені так регулярно, як це вже свідчать докази.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Riemann Zeta і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.