Funkcja Riemanna Zeta: Zera, Krytyczna Pasa i Liczby Pierwsze

Równanie, które powinno rozbiegać się, ale rozbiega się w rzeczywistości

Funkcja zeta Riemanna zaczyna się od nieskończonej sumy, ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ..., która konwerguje tylko dla liczb zespolonych s o części rzeczywistej większej niż 1. Wpływ Bernharda Riemanna z roku 1859 polegał na analizowanym kontynuowaniu tej sumy do niemal całego płaszczyzny zespolonej — unikalnie ją rozszerzyć, zachowując różniczkowalność, dla każdego s poza s = 1, gdzie funkcja ma prosty punkt biegunowy (suma dosłowne rozbiega się do nieskończoności, odpowiadając rozbieżności szeregu harmonicznego w s = 1). Wszędzie indziej, w tym dla ujemnych i zespolonych s, dla których oryginalna suma nie ma żadnego sensu numerycznego, ζ(s) jest dobrze zdefiniowaną, gładką liczbą zespoloną.

Produkt Eulera: zeta rzeczywiście dotyczy liczb pierwszych

Leonhard Euler już przed Riemannem wykazał, że to suma równa się nieskończonemu iloczynowi wszystkich liczb pierwszych:

zeta(s) = sum(1/n^s, n=1..inf) = product(1/(1 - p^-s), p prime) // suma rozciąga się po wszystkich liczbach naturalnych; iloczyn obejmuje tylko liczby pierwsze — // są równe ze względu na to, że każdy czynnik całkowity jest jednoznacznie rozkładany na czynniki pierwsze (jednoliki rozkład czynników). Tożsamość ta jest głównym powodem, dla którego matematycy zajmują się zeta: stanowi most pomiędzy światem addytwnym sumami wszystkich liczb naturalnych a światem iloczynowym liczb pierwszych, i istnieje dokładnie z powodu jednolitości rozkładu na czynniki pierwsze. Każde pytanie o to, jak liczby pierwsze są rozmieszczone, przynajmniej w teorii, może zostać przetłumaczone na pytanie o zachowanie analityczne zeta(s) — a ta transpozycja okazuje się niezwykle produktywna.

zeta(s) = sum(1/n^s, n=1..inf) = product(1/(1 - p^-s), p prime)
// the sum ranges over all positive integers; the product ranges only over primes —
// they're equal because every integer factors uniquely into primes (unique factorisation)

Trivial zera i pasma krytyczne

ζ(s) = 0 dla każdego liczby ujemnej parzystej — s = −2, −4, −6 i tak dalej — jest to bezpośredni wynik równania funkcyjnego wyprowadzonego przez Riemann, które wiąże ζ(s) z ζ(1 − s) poprzez czynnik, który zanika w tych punktach. Nazywane są one zerami trywialnymi, ponieważ ich położenie jest całkowicie zrozumiałe i nie interesuje naszą teorię liczb. Każde inne zero ζ(s) zostało udowodnione, że znajduje się w pasmie krytycznym, 0 < s < 1.

Hipoteza Riemanna

Hipoteza Riemanna zakładała – i do dzisiaj nie została ona udowodniona po ponad 165 latach – że każdy nietrywialny pierwiatek ma część rzeczywistą równą dokładnie 1/2, leżącą ściśle na linii krytycznej Re(s) = 1/2, która przecina pas krytyczny. Obliczono ponad 10 bilionów pierwiastków numerycznie, a każdy z nich znajdował się na tej linii, co stanowi silne dowody empiryczne, ale nie dowód – teoria liczb była wcześniej spalona przez konjektury, które trzymały się dla astronomicznie dużych, lecz nadal skończonych zakresów, zanim zawiodły (liczba Skewesa i hipoteza Mertensa są klasycznymi ostrzeżeniami). Hipoteza Riemanna jest jedną z siedmiu problemów Millennium Clayora, za które przyznano nagrodę w wysokości 1.000.000 dolarów za dowód lub obalenie.

functional equation:  zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s)
trivial zeros:        s = -2, -4, -6, ...      (from the sin factor vanishing)
critical strip:       0 < Re(s) < 1           (where all non-trivial zeros must lie)
Riemann Hypothesis:   every non-trivial zero has Re(s) = 1/2 exactly (unproven)

Dlaczego to mogłoby ustalić liczby pierwsze

Połączenie z funkcją policzania liczb pierwszych π(x) (liczba liczb pierwszych ≤ x) i jej gładkie przybliżenie, całkę logarytmiczną Li(x), przebiega przez liczby pierwsze. Twierdzenie o wartości średniej dla liczb pierwszych (które zostało udowodnione niezależnie przez Hadamard i de la Vallée Poussin w 1896 roku, wykorzystując fakt, że ζ(s) nie ma zer na linii Re(s) = 1) już gwarantuje, że π(x) ~ Li(x) gdy x → ∞. Jednak błąd między π(x) a Li(x) – jak ściśle rzeczywista dystrybucja liczb pierwszych przylega do gładkiej krzywej – jest kontrolowany przez to, jak blisko znajdują się zera niełatwe, od Re(s) = 1/2. Jeśli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, ten błąd jest najmniejszy, jaki może być, O(√x log x); im bardziej odległe jakiekolwiek zero od linii krytycznej, tym większy i mniej przewidywalny błąd można dopuścić. Udowodnienie tego nie zmieniłoby tego, czym są liczby pierwsze – udowodniłoby to, że są one rozłożone tak regularnie, jak sugeruje dowód.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Riemann Zeta i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.