Фрактальна геометрія – самос подібність та геометрія природи

Ви́користання геометричних форм

Геометрія є основою для розуміння та опису просторових відносин. У традиційній геометрії, яка базується на роботах Евкліда, вивчаються плоскі та об'ємні фігури, які мають чітко визначені властивості та характеристики. Однак, природа часто демонструє складніші форми, які не піддаються легкому опису за допомогою традиційних геометричних методів.

Фрактали — це геометричні об’єкти, що характеризуються самоподібністю, тобто їх частини мають схожу структуру з цілим. Це означає, що якщо ви збільшите частину фракталу, то вона буде виглядати як весь фрактал, але в меншому масштабі. Фрактали зустрічаються у багатьох природних явищах, таких як гірські хребти, річки, дерева та хмари.

Розмір фракталу: число між цілими

Вимірювання Хаусдорфа D узагальнює топологічне вимірювання до нецілих значень: для самосхожої множини, що складається з N частин, кожна зменшена в розмірі на коефіцієнт r, D = log(N) / log(1/r) Cantor set: N=2, r=1/3 → D = log2/log3 ≈ 0.631 Koch snowflake: N=4, r=1/3 → D = log4/log3 ≈ 1.262 Sierpiński triangle: N=3, r=1/2 → D = log3/log2 ≈ 1.585 Cantor set будується шляхом повторного видалення відкритої третини середньої частини інтервалу; після нескінченної кількості кроків виживають точки з нульовою загальною довжиною, але є безліччиною — вимірювання між точкою (D=0) та лінією (D=1). Koch snowflake відомо славиться тим, що утримує кінцеву площу, але має нескінченну периметр, оскільки кожне збільшення масштабу розкриває більше гострих деталей без гладкого розтягування будь-де.

D = log(N) / log(1/r)

Cantor set:          N=2, r=1/3  →  D = log2/log3  ≈ 0.631
Koch snowflake:       N=4, r=1/3  →  D = log4/log3  ≈ 1.262
Sierpiński triangle:  N=3, r=1/2  →  D = log3/log2  ≈ 1.585

Мандельбротів множество: нескінченна складність з однієї лінії

Візьміть комплексне число c, почніть з z=0 і повторювально дійте через піднесення до квадрату та додавання c. Питання полягає просто в тому, чи залишається орбіта обмеженою або виходить у нескінченність:

z_(n+1) = z_n² + c, z_0 = 0 M = { c ∈ ℂ : послідовність z_0, z_1, z_2, … залишається обмеженою } // колірування за часом уникнення: розфарбовуйте кожен піксель відповідно до кількості ітерацій до поки |z|>2 Отриманий кардіоїд-і-бульба, з його межами спіралей, ниток та мініатюрних копій всього множества, генерується виключно за цим одним арифметичним правилом. Міцухіро Шишікура довів у 1998 році, що межа має гаусів вимір точно 2 — вона майже так щільно заповнює площину, як і не повторюється. Близьке до цього множество Джулії фіксує c і замість цього змінює початкову точку z₀; кожна точка в Мандельбротів множенств відповідає одній формі множиства Джулії, з'єднана коли c ∈ M та розсіяний Кантор-подібний пил інакше.

z_(n+1) = z_n² + c,  z_0 = 0
M = { c ∈ ℂ : the sequence z_0, z_1, z_2, … remains bounded }
// escape-time colouring: colour each pixel by how many iterations until |z|>2

Ітераційні функціональні системи та бамслеяна папороть

Ітераційна функціональна система повторно застосовує невеликий набір стислих афінних відображень, щоб збігтися з унікальним ха промотором. Чотири такі відображення, застосовані випадковим чином із фіксованими ймовірностями, відтворюють переконливо ботанічну папороттю:

Бамслеяна папороть (Грамадійна метод Хаосу — виберіть f_i випадково, зважено p_i): f1: (0,0.16y) p=0.01 // стебель f2: (0.85x+0.04y, -0.04x+0.85y+1.6) p=0.85 // послідовно менші пелюстки f3: (0.2x-0.26y, 0.23x+0.22y+1.6) p=0.07 // ліва пелюстка f4: (-0.15x+0.28y, 0.26x+0.24y+0.44) p=0.07 // права пелюстка Повне ботанічне утворення, закодоване в кількох числах, є вражаючою демонстрацією того, як мало інформації містить складний природний об'єкт.

Barnsley fern (Chaos Game — pick f_i at random, weighted by p_i):
  f1: (0,0.16y)                          p=0.01   // stem
  f2: (0.85x+0.04y, -0.04x+0.85y+1.6)    p=0.85   // successively smaller leaflet
  f3: (0.2x-0.26y, 0.23x+0.22y+1.6)      p=0.07   // left leaflet
  f4: (-0.15x+0.28y, 0.26x+0.24y+0.44)   p=0.07   // right leaflet

Фрактали в природе и инженерии

Чоловіча трахея розгалужується приблизно 23 рази від трахеї до альвеол, забезпечуючи площу газообміну близько 70 м² у фіксованій грудній порожнині — майже ідеальний фрактал, оптимізований для збільшення площі поверхні. Генератори рельєфу створюють гори з фракційної брудної рухи, додаючи випадкові спотворення на кожному більш дрібному рівні. Антени з кривою Коха мають форму кривої Коха та резонують з кількома смугами одночасно, оскільки самоподібність дає однакову фізичну довжину декільком різним ефективним електричним довжинами — причина, чому одна компактна антена обробляє Wi-Fi та прийом сигналів мобільної мережі одночасно. Дифузія обмежена агрегацією — частинки випадково рухаються до тих пір, поки вони не приєднуються до зростаючого кластеру — виробляє ту ж розмірність розгалуження (D ≈ 1,71), яка зустрічається в блискавках, електрохімічно відкладених металах і мінеральних дендритах.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.