Квантова хвильова пакунок: розсіювання та невизначеність Гейзенберга

Збудження від багатьох хвиль

Вільний квантовий частинка ніколи не є точкою. У симуляції на цьому сайті вона починається з пакета хвильових функцій Гауса — локалізованого увігнутого місця в хвильовій функції ψ(x,t), яке утворюється шляхом перехресного додавання хвиль, що поширюються e^{ikx}, протягом вузького діапазону частот, центрованих навколо k0, кожна з яких має різні вагові коефіцієнти. У t = 0 пакет має ширину σ0 і несе імпульс p0 = ħk0:

ψ(x,0) = (2πσ0²)^(-1/4) · exp(-(x-x0)²/4σ0²) · exp(ik0x) Оскільки він побудований на основі розповсюдження частот замість однієї точної k, частинка не має жодного точного імпульсу — вона має розсіювання Δp, яке визначається вузькістю діапазону значень k. Це розсіювання є насіння всього цікавого, що далі відбувається.

ψ(x,0) = (2πσ0²)^(-1/4) · exp(-(x-x0)²/4σ0²) · exp(ik0x)

Групова та фазова швидкості

Дві швидкості мають значення і вони різні. Кожна хвильова складова всередині пакунка рухається з фазовою швидкістю vp = ω/k; сама оболонка — те, що ми бачимо як "частинку", - рухається з груповою швидкістю vg = dω/dk. Для вільного нерелятивістського частиці відношення дисперсії є ω = ħk²/2m, отже vg = ħk0/m (точно класична швидкість p0/m) а vp = ħk0/2m — лише вдвічі повільніше. Спостерігаючи демонстрацію, хвильові складові видимім чином відхиляються назад відносно оболонки; ця невідповідність vp ≠ vg стає очевидною.

Почему пакет расширяется

Каждый компонент волновой волны e^{ikx} захватывает различную фазную скорость ħk²/2m, потому что дисперсионная связь свободной частицы является квадратичной по отношению к k, а не линейной. Компоненты с большим k опережают компоненты с меньшим k, и обертка — изначально плотное суммирование почти несмежных волн — постепенно выходит из фазы сама с собой. Ширина растет в закрытой форме:

σ(t) = σ0 · sqrt(1 + (ħt / 2mσ0²)²) Узкие пакеты расширяются быстрее: уменьшая σ0 до фиксации положения, расширение начального разброса импульсов Δp = ħ/2σ0, а более широкий Δp означает, что k-компоненты расходятся быстрее. Нет способа иметь волновой пакет, который одновременно узкий и медленно расширяется — этот компромисс не является инженерным ограничением, это принцип Гейзенберга в маске.

σ(t) = σ0 · sqrt(1 + (ħt / 2mσ0²)²)

Невизначеність Гейзенберга, виміряна в реальному часі

Для будь-якого квантового стану Δx·Δp ≥ ħ/2. Гаусовий хвильовий пакет є особливим: у t = 0 він ідеально задовольняє цьому обмеженню, Δx0·Δp = ħ/2 — найкомпактніший стан, який дозволяє квантова механіка для заданого розповсюдження імпульсу. Для вільного частиці розподіл імпульсу ніколи не змінюється (нема чого тиснути на неї з боку потенціалу), тому Δp постійний у всьому часі, тоді як Δx(t) зростає за допомогою вищезазначеної формули σ(t). Продукт Δx(t)·Δp, отже, завжди збільшується після t = 0: пакет мінімальної невизначеності для однієї миті і потім віддаляється від цього ліміту, коли він розповсюджується.

Розв’язування на сітці

Симуляція просувається ψ методом роздільних кроків Фуріє: перетворюється в просторову фазоведіння з використанням швидкого перетворення Фур'є (FFT), множиться на пропагатора вільної частинки exp(-iħk²dt/2m) — який є точним і безперешкодно стабільним, оскільки він діагональний у просторових частотних координатах, а потім знову перетворюється. Один крок виглядає наступним чином:

phi = fft(psi) phi *= exp(-1i * hbar * k*k * dt / (2*m)) // точне вільне розповсюдження psi = ifft(phi) // |ψ|^2 є щільністю ймовірності Це набагато точніше за крок, ніж наївне кінценовідрізне оновлення рівняння Шредінгера, оскільки воно точно обробляє дисперсійний член замість того, щоб апроксимувати другий просторовий похідний — єдибою залишилася помилка від просторового розрідження та періоду, що випливає з FFT.

The FFT implicitly assumes periodic boundary conditions, which is a reasonable approximation for many simulations. The accuracy of the simulation depends on the grid spacing and the number of points used in the FFT.

phi = fft(psi)
phi *= exp(-1i * hbar * k*k * dt / (2*m))   // exact free propagation
psi = ifft(phi)                              // |psi|^2 is the probability density

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Quantum Wave Packet і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.