Pakiet Fal Kwantowej: Dyspersja i Niepewność Heisenberga

Zderzenie zbudowane z wielu fal płaskich

Wolna cząstka kwantowa nigdy nie jest rzeczywiście punktem. Symulacja na tym podstronie rozpoczyna się od pakietu fali Gaussa – zlokalizowanego wgłębienia w funkcji falowej ψ(x,t), które powstaje przez superponowanie fal płaskich e^{ikx} w wąskim paśmie wartości współczynników falowych o środku k0, każda ważona przez gęsi pierścień. W czasie t = 0 pakiet ma szerokość σ0 i przenosi pęd p0 = ħk0:

ψ(x,0) = (2πσ0²)^(-1/4) · exp(-(x-x0)²/4σ0²) · exp(ik0x) Ponieważ jest zbudowany z rozkładu współczynników falowych zamiast jednego dokładnego k, cząstka nie ma też jednego dokładnego pędu – posiada on rozpiętość Δp określoną przez szerokość paśma wartości współczynników falowych. Ta rozpiętość jest ziarnem wszystkiego interesującego, co następuje.

ψ(x,0) = (2πσ0²)^(-1/4) · exp(-(x-x0)²/4σ0²) · exp(ik0x)

Prędkość grupową i prędkość fazowa

Istnieją dwie prędkości, które różnią się od siebie. Rysy wewnętrzne wewnątrz envelopu poruszają się z prędkością fazową vp = ω/k; sam envelop – to rzeczywiście widoczny element, który można postrzegać jako "cząstkę" – porusza się z prędkością grupową vg = dω/dk. Dla swobodnej, nie-relatywistycznej cząstki związek dyspersji wynosi ω = ħk²/2m, więc vg = ħk0/m (dokładnie klasyczna prędkość p0/m), a vp = ħk0/2m – tylko połowę szybciej. Obserwując demonstrację, widzimy, że rysy wewnątrz pakietu widocznie przesuwały się do tyłu względem envelopu; to rozbieżność vp ≠ vg staje się widoczna.

Dlaczego pakiet rozproszony się poszerza

Każdy składnik falowopłytowy e^{ikx} pochwą inną prędkość fazową ħk²/2m, ponieważ relacja dyspersji dla swobodnego cząstka jest kwadratowa, a nie liniowa. Składniki o większych k wyprzedzają te o mniejszych k, a obwoluta – początkowo suma blisko siebie fázujących fal – stopniowo wypada z fazy sama ze sobą. Szerokość rośnie w zamkniętej postaci:

σ(t) = σ0 · sqrt(1 + (ħt / 2mσ0²)²) Szerzej rozpatrując, wąskie pakiety rozpraszają się szybciej: ściśnięcie σ0 do minimalnego zakresu, aby zablokować położenie, poszerza początkowy rozrzut momentu pędowego Δp = ħ/2σ0, a szerszy Δp oznacza, że komponenty k wyprzedzają się szybciej. Nie da się stworzyć pakietu falowego, który jednocześnie byłby wąski i powolny w rozprzestrzenianiu się – to jest kompromis, który nie wynika z ograniczeń inżynierskich, a ukryta zasada Heisenberga.

σ(t) = σ0 · sqrt(1 + (ħt / 2mσ0²)²)

Zasada nieoznaczenia Heisenberga, zmierzona na żywo

Dla każdego stanu kwantowego Δx·Δp ≥ ħ/2. Pakiet fal gaussowski jest wyjątkowy: w t = 0 saturuje on dokładnie granice – Δx0·Δp = ħ/2 — najbardziej skoncentrowany stan, jaki pozwala na sobie mechanika kwantowa dla danego rozrzutu pędów. Dla cząstki swobodnej rozkład pędów nigdy się nie zmienia (nie ma potencjału, który mógłby ją popchnąć), więc Δp jest stały w czasie, podczas gdy Δx(t) rośnie zgodnie z powyższym wzorem σ(t). Produkt Δx(t)·Δp zatem zawsze rośnie po t = 0: pakiet jest o minimalnej niepewności na jeden moment i następnie oddala się od tego limitu, rozprzestrzeniając się.

Rozwiązanie na siatce

Symulacja postępuje równaniem ψ metodą kroków rozdzielonych z wykorzystaniem transformaty Fouriera: najpierw przekształcenie do przestrzeni pędowej za pomocą FFT, następnie mnożenie przez propagator cząstki wolnej exp(-iħk²dt/2m) — który jest dokładny i bezwarunkowo stabilny, ponieważ jest diagonalny względem k, a na koniec transformacja z powrotem. Jeden krok wygląda następująco:

phi = fft(psi) phi *= exp(-1i * hbar * k*k * dt / (2*m)) // dokładne propagowanie cząstki wolnej psi = ifft(phi) // |ψ|^2 jest gęstością prawdopodobieństwa Jest to znacznie dokładniejsze w każdym kroku niż przybliżone aktualizacje różnic skończonych równania Schrödingera, ponieważ dokładnie traktuje człon rozprężny zamiast przybliżać drugą pochodną przestrzenną — jedyną pozostałą błędnością jest ta wynikająca z rozdzielczości siatki i okresowego brzegowego efektu implikowanego przez FFT.

phi = fft(psi)
phi *= exp(-1i * hbar * k*k * dt / (2*m))   // exact free propagation
psi = ifft(phi)                              // |psi|^2 is the probability density

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Quantum Wave Packet i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.