Квантове тунелювання: Підхід WKB та Фактор Гамова

Квантовий тунелювання: Підхід WKB та Фактор Гамова

Для частинки енергії E < V₀, що падає на барьер прямокутника висотою V₀ та шириною L, узгодження хвильової функції та її похідної на обох межах дає замкнену форму коефіцієнта проходження. Виникають три режими залежно від того, наскільки великий κL:

κ = √(2m(V₀−E)) / ħ T = [1 + V₀²·sinh²(κL) / (4E(V₀−E))]⁻¹ κL ≫ 1 (товстий/високий барьєр): T ≈ 16·E(V₀−E)/V₀² · e^(−2κL) Товстий барьєрний режим є ключовим результатом: T падає експоненційно з κL — коефіцієнт e в T на додаткову одиницю ширини — тому тунелювання незначне для макроскопічних об'єктів, але домінуюче для електронів та легких ядер.

κ = √(2m(V₀−E)) / ħ
T = [1 + V₀²·sinh²(κL) / (4E(V₀−E))]⁻¹
κL ≫ 1 (thick/tall barrier):  T ≈ 16·E(V₀−E)/V₀² · e^(−2κL)

WKB: загальне застосування до будь-якої форми бар'єру

Реальні бар'єри — це кауломова хвіст навколо ядра, проміжок у вакуумі під наконечником STM — не є прямокутними. Наближення Wentzel–Kramers–Brillouin (WKB) розглядає V(x) як локально прямокутним у кожній точці, визначаючи позитивно залежний розпадний константу κ(x), потім інтегрує по всій повністю забороненій класичній області між точками перегину a та b (де E = V(a) = V(b)):

κ(x) = √(2m(V(x)−E)) / ħ T ≈ exp[ −2∫ₐᵇ κ(x) dx ] ← інтеграл Гамова для проходження через тунель Георг Гамов застосовував саме цю формулу в 1928 році, щоб пояснити альфа розпад: альфа частинка, ув'язнена сильним ядерним силом, все ще стикається з далекобійним кауломовим бар'єром при виході. Інтеграл Гамова через цей бар'єр відтворює закон Geiger–Nuttall, охоплюючи понад двадцять порядків величини в періоді напіврозпаду — для альфа частинки з 5 МеВ, T може бути таким малим, як 10⁻³⁸, але частинка «спроба» бар'єру приблизно 10²¹ разів на секунду, тому розпад все ще відбувається в людських масштабах часу для багатьох ізотопів.

κ(x) = √(2m(V(x)−E)) / ħ
T ≈ exp[ −2∫ₐᵇ κ(x) dx ]     ← the Gamow tunnelling integral

Де виходить за межі WKB

WKB припускає, що локальна довжина де Бройля змінюється повільно. Він не працює правильно безпосередньо на точках повороту, де κ(x) → 0 і наївна хвильова функція WKB розбігається — це виправляється за допомогою формул з'єднання з Airy-функцією, а також для дуже тонких або низьких бар’єрів (κL ≲ 1), де слід використовувати точне рішення замість цього. Незважаючи на ці застереження, WKB є точним до кількох відсотків для практично будь-якого бар’єра, що має значення для ядерної та напівпровідникової фізики: розпад альфа-частинок, струми тунелювання STM ∝ e^(−2κd), тунелювання Fowler-Nordheim у пам'яті Flash, та тунельні діоди з негативним градієнтом опору — все це базується на цьому одному інтегралі.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.