Tunnelling Kwantowy: Przybliżenie WKB i Czynnik Gamowia

Precyzyjny prostokątny barier

Dla cząstki o energii E < V₀ uderzającej w prostokątny barier o wysokości V₀ i szerokości L, dopasowanie funkcji falowej i jej pochodnej do obu brzegów daje zamknięty wzór na współczynnik transmisji. Występuje trzy stany zależące od tego, jak duża jest κL:

κ = √(2m(V₀−E)) / ħ T = [1 + V₀²·sinh²(κL) / (4E(V₀−E))]⁻¹ κL ≫ 1 (gruba/wysoka bariera): T ≈ 16·E(V₀−E)/V₀² · e^(−2κL) Klucowym wynikiem jest grubo-barierny stan: T spada wykładniczo wraz z κL – o czynnik e w T na dodatkowy element szerokości – co sprawia, że tunelowanie jest pomijalnie małe dla obiektów makroskopowych, ale dominujące dla elektronów i lekkich jąder.

κ = √(2m(V₀−E)) / ħ
T = [1 + V₀²·sinh²(κL) / (4E(V₀−E))]⁻¹
κL ≫ 1 (thick/tall barrier):  T ≈ 16·E(V₀−E)/V₀² · e^(−2κL)

WKB: ogólne uogólnienie dla dowolnego kształtu bariery

Bariery rzeczywiste – ogon Kulombowski wokół jądra, przerwa próżniowa pod końcówką STM – nie są prostokątne. Przybliżenie Wentzela–Kramersa–Brillouina (WKB) traktuje V(x) jako lokalnie prostokątną w każdym punkcie, definiując zależną od pozycji stałą rozpadu κ(x), a następnie integruje się przez całą zakazaną obszar klasyczną pomiędzy punktami przejściowymi a i b (gdzie E = V(a) = V(b)):

κ(x) = √(2m(V(x)−E)) / ħ T ≈ exp[ −2∫ₐᵇ κ(x) dx ] ← całka Gamowa z tunelowania George Gamow zastosował dokładnie tę formułę w 1928 roku, aby wyjaśnić rozpad Alfego: cząstka Alfowa uwięziona przez silne oddziaływanie jądrowe nadal mierzy się z długodystansową barierą Kulombowską podczas ucieczki. Całka Gamowa przez tę barierę reprodukuje prawo Geiger’a-Nuttalla rozciągające się o ponad 20 rzędów wielkości w okresie połowicznego rozpadu – dla cząstki Alfowej o energii 5 MeV, T może wynosić tak mało jak 10⁻³⁸, jednak cząstka "próbuje" barierę ~10²¹ razy na sekundę, więc rozpad nadal zachodzi w skalach czasowych ludzkich dla wielu izotopów.

κ(x) = √(2m(V(x)−E)) / ħ
T ≈ exp[ −2∫ₐᵇ κ(x) dx ]     ← the Gamow tunnelling integral

Gdzie WKB przestaje działać

WKB zakłada, że zmienny długości de Broglie'a lokalny jest stosunkowo powolny. Przeciwnie, zawodzi on natychmiast w punktach skrętu, gdzie κ(x) → 0 i funkcja falowa z nawiasu naiwnego WKB rozbiega się – rozwiązane za pomocą wzorów łączących funkcję Airy – oraz dla bardzo cienkich lub słabych barier (κL ≲ 1), gdzie należy użyć rozwiązania dokładnego zamiast przybliżonego. Pomimo tych zastrzeżeń, WKB jest dokładny do kilku procent dla praktycznie każdej bariery istotnej w fizyce jądrowej i półprzewodników: rozpad promieniotwórczy alfowy, prądy tunelowania STM ∝ e^(-2κd), tunelowanie Fowlera-Nordheima w pamięci flash oraz tranzystory o ujemnym oporze tunelowego – wszystkie oparte są na tym jednym całkowaniu.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.