Попередник та Жертва: Осарка Ло́ткової-Вольтерра

Попередник та Жертва: Осарка Ло́ткової-Вольтерра

Рівняння Лотки-Вольтера (Альфред Лотка, 1925; Віто Вольтерра, 1926, незалежно одне від одного) є найпростішим математичним моделлю взаємодії хижака та здобичі через споживання лише, без інших факторів обмеження:

dPrey/dt = a*Prey - b*Prey*Predator dPredator/dt = c*Prey*Predator - d*Predator a = швидкість росту здобичі b = швидкість поїдання c = швидкість зростання хижака на з’їденої здобичі d = швидкість смерті хижака live demo · частинки здобичі та хижаків взаємодіють локально● LIVE Без хижаків, здоба росте експоненціально (a*Prey); без здобичі, хижаки зневоднюються експоненціально (−d*Predator). Коуплінг терміни b*Prey*Predator та c*Prey*Predator моделюють зустрічі між двома популяціями — більше обох означає більше зустрічей, тому як поїдання, так і зростання хижаків масштабуються з добутком двох популяцій, той самий припущення про дія маси, що використовується для швидкостей хімічних реакцій.

dPrey/dt     = a*Prey - b*Prey*Predator
dPredator/dt = c*Prey*Predator - d*Predator

a = prey growth rate         b = predation rate
c = predator growth per prey eaten     d = predator death rate

Чому популяції полюють одна за одною по колу

Розв’яжіть рівняння та, віддаляючись від тривіального стану рівноваги нуль-нуль, дві популяції простежують замкнену, повторювану циклічність замість того, щоб стабільно приземлитися в певному пункті: здоба збільшується, коли хижаки рідкісні, що призводить до збільшення здобичі, яка дозволяє хижакам рости, а потім ця кількість хижаків обернено пропорційна кількості здобичі, і так далі — назад до початку. Якщо побудувати графік популяцій здобиті та хижаків у часі, обидва графіки коливатимуться з однаковим періодом, але пік хижаків помітно відстає від піку здобиті, оскільки хижаки ростуть лише після того, як здоба вже стала надмірною.

Якщо побудувати графік популяцій здобиті та хижаків у фазовому просторі (замість кожного проти часу), система простежує замкнутий ланцюг навколо єдиної точки рівноваги, де dPrey/dt = dPredator/dt = 0 — тобто центру, в термінах динамічних систем, що означає, що близькі траєкторії ніяк не згострюються до нього, ні віддаляються від нього, вони просто обертаються навколо нього на фіксованій амплітуді, повністю визначеній початкових умовах. Це делікатна, структурно нестабільна властивість: базовий модель Лотка-Вольтера не має гасіння, тому, на відміну від майже всіх інших закорельованих осциляторів у фізиці або інженерії, її цикли не стискаються до рівноваги з часом.

Від двох чисел до сотень частинок

Два диференціальні рівняння описують загальні популяції безпосередньо, припускаючи, що кожен у кожній видіві миттєво взаємодіє з усіма в іншому — добре перемішана, просторово однорідна популяція. У цій сторінці симуляція надає кожному хижакові та здобич звісною позицію, швидкість і прості місцеві правила: здоба рухається та розмножується на певному рівні, хижаки переслідують сусідніх здобич і розмножуються, коли вони ловлять одну, і обидва вмирають (від старості для здобичі, від голодної смерті для хижаків, які не ловлять нічого протягом тривалого часу). У коді ніде не розв'язується глобальне рівняння — та сама коливання «взрив-колапс», яку можна отримати з диференціальних рівнянь, виникає чисто з тисяч локальних взаємодій на рівні частинок, а також можливість бачити просторову структуру, яку повністю приховують ODE-моделі: групи здобичі, які переслідуються локально, концентрація хижаків тимчасово там, де здоба густа, і порожні регіони відновлюються, поки дія переміщується в іншому місці.

Чому справжні екосистеми не коливаються назавжди

Чиста модель є відомо слабкою: будь-який доданий реалізм — це обмеження носіїв, навіть із нульовими хижаками, або насичення (тип II) функціональна відповідність, де швидкість увбивства хижака стабілізується замість лінійного зростання з щільністю здобичі, або демографічний шум від невеликих популяцій — зазвичай пригнічує коливання до стабільного рівноваги або, в інших параметрах, дестабілізує його до вимирання, а не зберігає нейтральні, незгладжувані цикли ідеалізованих рівнянь. Lotka-Volterra найкраще розуміти як мінімальний, навмисно спрощений початковий пункт, який демонструє, чому системи хижаків та здобиті коливаються, а не як кількісно точну модель будь-якої конкретної реальної екосистеми.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Prey-Predator і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.